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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORES EJERCICIOS RESUELTOS DE FISICA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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CONCEPTO
Desde que la palabra “Física” proviene del término “Physis”, que significa “Naturaleza”, en sus inicios, más o menos hasta principios del siglo XIX, la Física se consideró como una Ciencia que estudiaría todos los fenómenos naturales. Pero a partir del siglo XIX, se redujo su campo, limitándola al estudio de los llamados “Fenómenos Físicos”, el resto de fenómenos pasaron a formar parte de otras ciencias naturales.
La física es una ciencia natural encargada de estudiar los fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza, sistematizándolos a través de leyes físicas determinadas.

Fenómeno Físico:

Es todo cambio y/o transformación que experimentan ciertos cuerpos sin alterar su estructura íntima. Es decir, son cambios reversibles.
Por ejemplo:
• Los cambios de estado
• El movimiento de los cuerpos
• La dilatación de los cuerpos, etc.

Análisis Dimensional

Magnitud Física
Es todo aquello que puede ser medido con cierto grado de precisión usando para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecida.
Las magnitudes físicas, se clasifican en:

I. SEGÚN SU ORIGEN

1. Magnitudes Fundamentales
Son aquellas magnitudes que sirven de base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las demás magnitudes.

2. Magnitudes Derivadas
Son aquellas que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales.

II. SEGUN SU NATURALEZA
1. Magnitudes Escalares:
Son aquellas que quedan perfectamente definidas mediante un número real y su correspondiente unidad de medida.
Ejemplo: -10ºC; 5kg; etc.

2. Magnitudes Vectoriales
Son aquellas que además de conocer su valor, se requiere de su dirección y sentido para quedar perfectamente definidas.

Ejemplo:
• La Velocidad
• La Aceleración
• La Fuerza, etc.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)

Considera siete magnitudes fundamentales y dos auxiliares.

Magnitud Símb. Unidad Abreviatura
Longitud L Metro m
Masa M Kilogramo Kg
Tiempo T Segundo s
Intensidad de Corriente Eléctrica
I
Ampere
A
Temperatura  Kelvin K
Intensidad Luminosa J Candela cd
Cantidad de Sustancia N Mol mol

Ecuación Dimensional
Es aquella igualdad matemática que sirve para relacionar las dimensiones de las magnitudes físicas fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas y fijar así sus unidades, además permite verificar si una fórmula o ley física, es o no correcta, dimensionalmente.

Notación:
Se usa un par de corchetes, así:

  se lee “Ecuación Dimensional De”

Ejemplo:

B : Ecuación dimensional de la magnitud física B

ECUACIONES DIMENSIONALES MAS CONOCIDAS
1. AREA = L²
2. VOLUMEN = L3
3. VELOCIDAD = LT-1
4. ACELERACION = LT-2
5. FUERZA = MLT-2
6. TRABAJO = ML²T-2
7. POTENCIA = ML2T-3
8. PRESION = ML-1T-2
9. CALOR = ML²T-2
10. ENERGIA = ML²T-2
11. TORQUE = ML²T-2
12. MOMENTUM LINEAL = MLT-1
13. IMPULSO = MLT-1
14. CAUDAL = L3T-1
15. VELOCIDAD ANGULAR = T-1
16. ACELERACION ANGULAR= T-2
17. CARGA ELECTRICA = IT
18. RESISTENCIA ELECTRICA
= ML²T-3I-2
19. POTENCIAL ELÉCTRICO
= ML²T-3I-1
20. CAPACIDAD ELÉCTRICA
=M-1L-2T4I²
PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

1º Todo número expresado en cualquiera de sus formas tiene como dimensión a la unidad.

Ejemplo:
Cos 74º = 1    = 1
2 = 1

2º Sólo se podrá sumar o restar magnitudes de la misma especie y el resultado de dicha operación será igual a la misma magnitud.
Ejm.:
3m + 2m = 5m
3m + 2m = 5m

L + L = L
Ejemplo:

8S – 5S = 3S
85 – 5S = 3S

T – T = T

3º Si una fórmula física es dimensionalmente correcta u homogénea, todos los términos de dicha ecuación deben ser dimensionalmente iguales.

Así: sea la fórmula física:

P + Q = R – S

 P = Q = R = S

Ejemplos de Aplicación

1. Si: x = 8mg log 12
Donde
m: masa
g: aceleración de la gravedad
¿Qué dimensiones tendrá x?

Solución:
x = 8mg log 12
Recordemos que:
8 = 1  log 12 = 1
Luego, tendremos:
x = mg

x = MLT-2

2. Si: X =

Donde:

A = área; t = período;
v = volumen.

Hallar las dimensiones de “x”

Solución:

Recuerde:

  = 1

cos  = 1 Luego:
x =
x = x = L-2T-1

3. Si:
P =

Donde:
a = aceleración; v = velocidad
Hallar las dimensiones de “P”

Solución:

De la 2º propiedad:
3a – a = a = LT-2
6v – v = v = LT-1

Luego:
P =
 P = LT-3
Observación Importante

Los exponentes de una magnitud siempre son números

Ejemplos:

* Son correctas:
h²; F2t-4; t5; Lcos 30º
* No son correctas:
hm; Fq, Mt gF; n
* Las siguientes expresiones podrían ser correctas, siempre y cuando “x” sea un número
- M3x
- F4xL; será correcta si “XL” es un número

En éste caso se cumple:
XL = 1  x = = L-1
Luego: M2xL = M²

4. Halle las dimensiones de “K” en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta.
3AK = . cos  . v

Donde:
h : altura ; f : frecuencia
g : gravedad; v : velocidad

Solución:

* Analizamos el exponente

Luego, en la expresión inicial:

Ak = h-1 . v

LT-1 K = L-1 . LT-1

 K = L-1

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar x y z en la siguiente ecuación D.C.

Donde:
w : peso; g = gravedad

Solución

Aplicamos la 1º propiedad:
1 =
Luego:
gx = w + z

 gx = w = z

(1)
De (1):
z = MLT-2

Además :
gx = w
x =

 x = M

2. ¿Qué valor tiene (x-y), si la siguiente ecuación es D.C.?

Donde:
 : longitud; g: gravedad
k : constante numérica

Solución
f =  
T-1 = 1 . . (LT-2)-y
T-1 = L . L-y T2y
T-1 = L -y . T2y
Completamos el primer miembro para tener las mismas magnitudes del segundo miembro, así:
LºT-1 = L -y T2y

Igualamos exponentes:
De T : 2y = -1
Y = – ½
De L :
-2x² – y = 0  – 2x² = y
- 2x² = – ½
x² = ¼
x = ½
Luego
x – y = ½ -

(x – y) = 1
3. La ecuación mostrada es D.C. Hallar (x + y)
g = Vtx (4 + k y-x)
Donde:
t = tiempo; v = velocidad
g = gravedad
Solución
Como es D.C., tenemos:
[4] = [Ky-x] = 1
Es decir: y – x = 0  y = x

Entonces:
[g] = [ Vtx]
LT-2 = LT-1 Tx = LTx-1

Igualando exponentes:
x – 1 = -2  x = -1
Luego y = -1

 (x + y) = -2

4. Hallar “” si la ecuación mostrada es D.C.

Donde:
t = tiempo; v = velocidad;
 = aceleración angular

Solución
* [x] = [3 ] = T -2
*

[y] = LT

Luego, en la expresión original:
ta = ()-1 y sen
Ta = (T-2)-1 y sen
Ta = T2 ysen
Igualando exponentes:
a = 2 ; = sen 

  = 30º
VECTORES

Vector: Es un ente matemático que se caracteriza porque tiene módulo, dirección y sentido. Un vector sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales.

Los vectores se pueden representar gráficamente mediante un segmento de recta orientado. Así:

Notación:
* : se lee “vector v”
* : se lee “módulo del vector v”

OPERACIONES BASICAS CON LOS VECTORES

Debemos tener presente que para realizar operaciones con vectores, estos deben ser de la misma naturaleza.

I. Suma de Vectores
Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por uno solo llamado vector resultante ( ).

¿Cómo determinamos la resultante de dos vectores?

Rpta. Se debe tener en cuenta los siguientes casos:

1. Para dos vectores con el mismo sentido:
La resultante se obtiene sumando los módulos de los vectores

Ejemplo:

A esta resultante se le conoce como Resultante Máxima (Rmax)

R = A + B

2. Para dos vectores con sentidos opuestos

 R = A – B

En este caso se obtiene restando los módulos de los vectores
* A esta resultante se le conoce como “RESULTANTE MINIMA” (RMIN)

3. Para dos vectores perpendiculares:

R =
R =

R = 5u

En este caso la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

R =
4. Para dos vectores que forman un ángulo cualquiera

Observe que en este caso se trazan paralelas a los vectores por sus extremos. La unión del origen de los vectores con la intersección de las paralelas es el vector resultante.
El módulo de éste vector resultante se obtiene así:

R =

Método del Polígono
Nos permite determinar la resultante de varios vectores:
Procedimiento
1. Trasladamos los vectores y los colocamos uno a continuación de otro (extremo de un vector en el origen del otro)
2. El vector resultante ( ) se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector
Por ejemplo:
Para los vectores dados, halle el módulo de la resultante.

Solución
Colocamos los vectores uno a continuación de otro.

El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector. Luego:

R = 8

Diferencia de dos Vectores
Los vectores que se van a restar se unen en un origen común, luego el vector diferencia se obtiene uniendo los extremos de los vectores. El vector diferencia señala hacia el minuendo.

Su módulo:

Ejemplos de Aplicación
1. La resultante máxima de dos vectores de módulos iguales es 20. Hallar la nueva resultante cuando dichos vectores estén formando 120º entre sí.

Solución:
Sea los vectores
Tales que:
Luego, Rmax = a + b
Rmax = 2m
Por dato: 2m = 20
m = 10

Luego, cuando forman 120º:

R =
R =

R = 10

Conclusión

Dos vectores de igual módulo que formen 120º entre si originan una resultante de igual módulo que los vectores.

2. La figura mostrada es un hexágono regular de lado 2u. Halle el módulo del vector resultante.

Solución
Trasladamos los vectores hacia los lados que son paralelos a dichos vectores, así:

Luego; sumamos:

 R = 2 (AD)
Pero AD = 4u

Luego R = 8u

3. Dados los vectores mostrados, determinar

Solución.

Unimos los vectores por sus orígenes.

D =
D =  D = 5

DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR

Consiste en reemplazar un vector por otros dos, de tal forma que éstos sean mutuamente perpendiculares.

Vx = Vx = V Cos 
Vy = sen  Vy = V sen 
Además: Tag= Vy
Vx
Ejemplos de Aplicación

1. Hallar el módulo de la resultante.

Solución:

* Hallamos “RH”

RH = 120 cos 53º – 90 cos 37º
RH = 120 x – 90 x

RH = 0

* Hallamos “RV”

RV = 90 Sen 37º + 120 sen 53º
RV = 90 x + 120 x

RV = 150

Luego la resultante total se obtiene así:
R =
R =  R = 150

2. Halle la medida del ángulo “” para que la resultante se encuentre en el eje “x”

Solución

Como la resultante está ubicada sobre el eje “x”, entonces en el eje vertical, la resultante debe ser igual a cero:

Luego:
Ry = 0
10 sen  – 16 cos 60º = 0
5 sen  = 8 cos 60º
5 sen  = 8 x ½ = 4
sen  =   = 53º

ANÁLISIS DIMENSIONAL ANÁLISIS DE VECTORES

1. Calcule las dimensiones de A y B respectivamente, en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta

d = A t + 0,5 B t2

Donde d es distancia y t es tiempo.

F) L T  1 ; L T  2
G) L T  2 ; L 2 T  2
H) L T  2 ; L T  3
I) L 2 T  1 ; L 2 T  2
J) L 2 T  3 ; L T  2

2. La energía en el S.I., se mide en joules (J). Si la energía cinética (Ec) de un cuerpo está definida mediante:

EC = 0,5 mv 2

Donde m es masa y v es el módulo de la velocidad.

¿Cuál de los siguientes grupos de unidades equivale al Joule?

F) kg m2 s1
G) kg m 1 s 2
H) kg m 2 s 2
I) kg m2 s 2
J) kg m3 s 2

3. Un grupo de unidades que representa la medición de la potencia es:

F) lb pie3 s 3

G) lb pie2 s2

H) kg m3 s 2

I) lb pie2 s 3

J) kg m3 s 2

4. El número de Reynolds es un valor adimensional el cual nos indica si un flujo es turbulento o laminar, dentro de un tubo. El número de Reynolds “R”, se calcula mediante la siguiente ecuación:
R =  V d /

Donde  es la densidad, V la rapidez promedio y d el diámetro del tubo. Determinar las dimensiones de la viscosidad .

F) M2 L1 T 1
G) M3 L1 T 1
H) M L1 T 1
I) M L2 T 1
J) M L1 T 2

5. La densidad (D) de un sólido según la temperatura, está dada por la siguiente ecuación :

Donde M es la masa y ∆T la variación de la temperatura. Determinar las dimensiones de B.

A) L3 1 B) L3 1
C) L 3 D) M3 1 T 1
E) M L1 1

6. En cierto experimento, se mide el tiempo que demora un péndulo simple en dar una oscilación. Se observa que este tiempo depende de la aceleración de la gravedad y de la longitud de la cuerda. La ecuación empírica del periodo en función de estas dos últimas cantidades es:

F) 6,28 g1/2 L1/2
G) 4,22 g1/3 L1/2
H) 3,12 g1/5 L1/3
I) 1,24 g1/3 L1/3
J) 3,14 g2 L1/2
7. Con respecto a la gráfica, determine la dimensión del área sombreada.

F) M 2 L T 1
G) M L T 1
H) M L2 T 1
I) M L2 T 1
J) L2 T 2
8. Con respecto a la gráfica A vs B mostrada en la figura, determine la dimensión de la pendiente de la recta. Donde A es masa y B es volumen.

F) M L1
G) M L2
H) M 1 L1
I) M T 3
J) M L3

9. La diferencia de potencial eléctrico “ ” entre dos puntos de un material está dada por:

Donde W es el trabajo necesario para trasladar las cargas entre dichos puntos y q es la cantidad de carga neta que se traslada. Determine las dimensiones de la diferencia de potencial eléctrico.

F) M L 1 T 3 I 1

G) M L 2 T 3 I 1

H) M1 L1 T 3 I 1

I) M T 3 I 1

J) M L 3 I 1
10. La capacitancia (C) de un capacitor es la división entre el valor de la carga (Q) que almacena una de sus armaduras y la diferencia de potencial (V) entre las armaduras del capacitor. Determine las dimensiones de la capacitancia.

F) M1 L2 T 4 I1
G) M L 2 T 3 I1
H) M1 L1 T 3 I1
I) M T 3 I 1
J) M 1 L2 T4 I2

11. Determine el módulo de la resultante de los vectores , y .

A) 12 u B) 14 u C) 24 u
D) 13 u E) 15 u

12. Dos vectores y tienen módulos de 10 u y 6 u respectivamente. Determinar en que intervalo se encuentra el módulo de la resultante que se pueden obtener con estos dos vectores.
F)
G)
H)
I)
J)
13. Dos vectores tienen una resultante máxima cuyo módulo es 14 u y una resultante mínima cuyo módulo es 2u. Determine el módulo de la resultante de los vectores cuando son perpendiculares entre si.

A) 12 u B) 14 u C) 20 u
D) 10 u E) 15 u
14. Sea el vector de módulo 5 u que forma 63° con respecto al eje +x, y las rectas L1 y L2 que forman ángulos de 137° y 10° con respecto al eje +x. Determine los módulos de las componentes del vector sobre L1 y L2.
A) 4 u y 6 u B) 8 u y 5 u
C) 5 u y 6 u D) 4 u y 5 u
E) 4 u y 3 u
15. Los vectores están ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.

A)
B)
C)
D)
E)
16. Los vectores están ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.

F) 4 u  7º
G) 1 u  8 º
H) 4 u  0 º
I) 1 u  0 º
J) 1 u  10 º

17. Sean los vectores y . Determine el módulo de

A) 42 u B) 12 u C) 63 u

D) 26 u E) 98 u

18. Calcule el módulo de la resultante de los vectores que se muestran en la figura.

F) 8 u
G) 10 u
H) 6 u
I) 5 u
J) 9 u

19. Determine el módulo del vector tal que la resultante de los vectores mostrados en la figura sea vertical.
(B = 25u)

F) 40 u
G) 20 u
H) 60 u
I) 30 u
J) 90 u