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CORRIENTE ELECTRICA , RESISTENCIA Y FUERZA ELECTROMOTRIZ PDF

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METAS DE APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:
• El significado de la corriente eléctrica y cómo se desplaza la carga en un conductor.
• El significado de la resistividad y la conductividad eléctrica de una sustancia.
• Cómo calcular la resistencia de un conductor a partir de sus dimensiones y su resistividad.
• El modo en que una fuerza
electromotriz (fem) hace
posible que la corriente fluya
en un circuito.
• Cómo efectuar cálculos que
implican energía y potencia
en circuitos.
CORRIENTE,
RESISTENCIA Y FUERZA
ELECTROMOTRIZ
?En una linterna,
la cantidad de corriente
que sale de la bombilla
eléctrica, ¿es menor,
mayor o igual a la
cantidad de corriente
que entra a la
bombilla?
En los pasados cuatro capítulos estudiamos las interacciones de las cargas eléctricas
en reposo; ahora estamos listos para estudiar las cargas en movimiento.
Una corriente eléctrica consiste en cargas en movimiento de una región a otra.
Cuando este desplazamiento tiene lugar en una trayectoria de conducción que forma
una espira cerrada, la trayectoria recibe el nombre de circuito eléctrico.
Fundamentalmente, los circuitos eléctricos son un medio de transportar energía de
un lugar a otro. A medida que las partículas se desplazan por un circuito, la energía
potencial eléctrica se transfiere de una fuente (como una batería o un generador) a un
dispositivo en el que se almacena o se convierte en otra forma: sonido en un equipo
estereofónico, o calor y luz en un tostador o una eléctrica, por ejemplo. Desde el punto
de vista tecnológico, los circuitos eléctricos son útiles porque permiten transportar
energía sin que haya partes macroscópicas móviles (además de las partículas con carga
en movimiento). Los circuitos eléctricos son la base de las linternas, los reproductores
de CD, las computadoras, los transmisores y receptores de radio y televisión, y
los sistemas domésticos e industriales de distribución de energía eléctrica. Los sistemas
nerviosos de los animales y los humanos son circuitos eléctricos especializados
que conducen señales vitales de una parte del cuerpo a otra.
En el capítulo 26 veremos la manera de analizar circuitos eléctricos y estudiaremos
algunas de sus aplicaciones prácticas. Sin embargo, antes de ello, habrá que entender
las propiedades básicas de las corrientes eléctricas, que es el tema de este
capítulo. Comenzaremos por describir la naturaleza de los conductores eléctricos y
ver cómo los afecta la temperatura. Aprenderemos por qué un alambre corto, grueso
y frío es mejor conductor que otro largo, delgado y caliente. Estudiaremos otras propiedades
de las baterías y veremos cómo producen corriente y transfieren energía en
un circuito. En este análisis usaremos los conceptos de corriente, diferencia de potencial
(o voltaje), resistencia y fuerza electromotriz. Por último, estudiaremos las
corrientes eléctricas en un material desde el punto de vista microscópico.

25.1 Corriente eléctrica
Una corriente eléctrica es todo movimiento de carga de una región a otra. En esta
sección estudiaremos las corrientes en los materiales conductores. La gran mayoría de
aplicaciones tecnológicas de cargas en movimiento implican corrientes de este tipo.
En situaciones electrostáticas (las cuales se analizaron en los capítulos 21 a 24), el
campo eléctrico dentro de un conductor es igual a cero, y no hay corriente. Sin embargo,
esto no significa que todas las cargas en el interior del conductor estén en reposo.
En un metal común, como el cobre o el aluminio, algunos de los electrones están en libertad
para moverse dentro del material conductor. Estos electrones libres se mueven
al azar en todas direcciones, en forma parecida a como lo hacen las moléculas de un
gas, sólo que con una rapidez mucho mayor, del orden de 106 m>s. No obstante, los
electrones no escapan del material conductor, ya que son atraídos hacia los iones positivos
del material. El movimiento de los electrones es aleatorio, por lo que no hay un
flujo neto de carga en ninguna dirección y, por consiguiente, no existe corriente.
Ahora, considere lo que pasa si se establece un campo eléctrico constante y estable
dentro de un conductor. (Más adelante se verá cómo ocurre esto.) En ese caso,
una partícula con carga (como un electrón libre) en el interior del material conductor
se somete a una fuerza estable Si la partícula con carga se moviera en el vacío,
esta fuerza estable ocasionaría una aceleración estable en dirección de y después
de cierto tiempo la partícula con carga se desplazaría en esa dirección con gran
rapidez. Pero una partícula con carga en movimiento en un conductor experimenta
colisiones frecuentes con los iones masivos y casi estacionarios del material. En cada
colisión, la dirección en que se mueve la partícula sufre un cambio aleatorio. El
efecto neto del campo eléctrico es que, además del movimiento al azar de las partículas
con carga dentro del conductor, también hay un movimiento neto muy lento o
deriva de las partículas con carga que se desplazan como grupo en dirección de la
fuerza eléctrica (figura 25.1). Este movimiento queda descrito en términos
de la velocidad de deriva de las partículas. Como resultado, existe una corriente
neta en el conductor.
Si bien el movimiento aleatorio de los electrones tiene una rapidez media muy
grande, alrededor de 106 m>s, la rapidez de deriva es muy baja, con frecuencia del orden
de 1024 m>s. Como los electrones se mueven con tanta lentitud, tal vez se pregunte
por qué la luz se enciende de inmediato cuando se activa el interruptor de una
linterna. La razón es que el campo eléctrico se establece en el alambre conductor con
una rapidez cercana a la de la luz, y los electrones comienzan a desplazarse a todo lo
largo del alambre casi al mismo tiempo. En realidad no es muy relevante el tiempo
que toma a cualquier electrón individual trasladarse del interruptor a la bombilla. Una
buena analogía es un grupo de soldados a la espera de la orden de un sargento para
comenzar a marchar; la orden llega a oídos de los soldados con la rapidez del sonido,
que es mucho mayor que aquella a que marchan, por lo que los soldados comienzan a
marchar prácticamente al unísono.
Dirección del flujo de corriente
La deriva de las cargas en movimiento a través de un conductor puede interpretarse
en términos de trabajo y energía. El campo eléctrico efectúa trabajo sobre las cargas
en movimiento. La energía cinética resultante se transfiere al material del conductor
por medio de colisiones con los iones, los cuales vibran en torno a sus posiciones
de equilibrio en la estructura cristalina del conductor. Esta transferencia de energía incrementa
la energía media de vibración de los iones y, por lo tanto, la temperatura del
material. Así, gran parte del trabajo realizado por el campo eléctrico se dedica a calentar
el conductor, no a hacer que las cargas se muevan cada vez más rápido. Este
calentamiento a veces resulta útil, como en el caso de un tostador eléctrico, pero en
muchas situaciones es tan sólo un subproducto inevitable del flujo de la corriente.
En distintos materiales que conducen corriente, las cargas de las partículas en movimiento
son positivas o negativas. En los metales las cargas en movimiento siempre son
electrones (negativos), mientras que en un gas ionizado (plasma) o una solución iónica,
E S
vS
d
F S
5 qE S
E S
F S
,
F S
5 qE S .
E S
Conductor sin campo interno E
ES F 5 qE S S ES
Conductor con campo interno E
S
S
P2
P1
P2
vdDt
S
Trayectoria de un electrón sin campo E.
El electrón se mueve al azar.
Trayectoria del
electrón con campo
E. El movimiento
es sobre todo al
azar,
pero …
… el campo E da como resultado un desplazamiento
neto a lo largo del conductor.
S
S
Un electrón tiene carga negativa q, por lo
que la fuerza sobre él debida al campo E
es en la dirección opuesta a E.
S
S
25.1 Si no hay campo eléctrico en el
interior de un conductor, un electrón se
traslada al azar del punto P1 al punto P2
en el momento Dt. Si está presente un
campo eléctrico , la fuerza eléctrica
impone una pequeña deriva
(muy exagerada en la ilustración) que
lleva al electrón al punto Pr2, a una
distancia vdDt de P2 en dirección de
la fuerza.
F S
5 qE S
E S
las cargas en movimiento incluyen tanto electrones como iones con carga positiva. En
un material semiconductor, como el germanio o el silicio, la conducción ocurre en parte
por los electrones y en parte por el movimiento de las vacantes, también llamadas
huecos, que son sitios donde se pierden electrones y actúan como cargas positivas.
La figura 25.2 presenta segmentos de dos materiales diferentes portadores de corriente.
En la figura 25.2a, las cargas en movimiento son positivas, la fuerza eléctrica ocurre
en la misma dirección que y la velocidad de deriva es de izquierda a derecha. En la
figura 25.2b las cargas son negativas, la fuerza eléctrica es opuesta a y la velocidad de
deriva es de derecha a izquierda. En ambos casos hay un flujo neto de carga positiva
de izquierda a derecha, y las cargas positivas terminan a la derecha de las negativas.
Definimos que la corriente, denotada por I, va en la dirección en la que hay un flujo de
carga positiva. Por ello, las corrientes se describen como si consistieran por completo en
un flujo de cargas positivas, aun en los casos en que se sabe que la corriente real se debe
a electrones. Así, en las figuras 25.2a y 25.2b la corriente es hacia la derecha. Esta convención
sobre la dirección del flujo de la corriente se llama corriente convencional.
Aunque la dirección de la corriente convencional no es necesariamente la misma en que
se desplazan en realidad las partículas con carga, veremos que el signo de las cargas en
movimiento tiene poca importancia en el análisis de los circuitos eléctricos.
La figura 25.3 muestra un segmento de conductor por el que fluye una corriente.
Se considera que las cargas en movimiento son positivas, por lo que se mueven en la
misma dirección que la corriente. Definimos la corriente a través del área de sección
transversal A como la carga neta que fluye a través del área por unidad de tiempo. De
esta forma, si una carga neta dQ fluye a través de un área en el tiempo dt, la corriente
I a través del área es
(definición de corriente) (25.1)
CUIDADO La corriente no es un vector Aunque nos referimos a la dirección de una
corriente, la corriente, tal como está definida en la ecuación (25.1), no es una cantidad vectorial.
En un conductor portador de corriente, la corriente siempre va a lo largo del conductor sin importar
si es recto o curvo. Ningún vector podría describir el movimiento a lo largo de una trayectoria
curva, y por eso la corriente no es un vector. Por lo general describiremos la dirección
de la corriente ya sea con palabras (por ejemplo, “la corriente fluye por el circuito en el sentido
horario”) o eligiendo una corriente como positiva si fluye en un sentido a lo largo de un conductor,
y negativa si fluye en sentido contrario. ❚
La unidad del SI para la corriente es el ampere; un ampere se define como un coulomb
por segundo (1 A5 1 C>s). Esta unidad recibe su nombre en honor del científico
francés André Marie Ampère (1775-1836). Cuando se enciende una linterna común
(de pilas tamaño D), la corriente en ella es aproximadamente de 0.5 a 1 A; la corriente
en los cables del motor de arranque de un automóvil es de alrededor de 200 A. Las
corrientes en los circuitos de radio y televisión por lo general se expresan en miliamperes
(1 mA 5 1023 A) o microamperes (1 mA 5 1026 A), y las corrientes en los
circuitos de computadoras son del orden de nanoamperes (1 nA5 1029 A) o picoamperes
(1 pA5 10212 A).
Corriente, velocidad de deriva y densidad de corriente
La corriente se puede expresar en términos de la velocidad de deriva de las cargas en
movimiento. Consideremos de nuevo la situación de la figura 25.3, que ilustra un
conductor con área de sección transversal A y un campo eléctrico dirigido de izquierda
a derecha. Para comenzar, se supondrá que las cargas libres en el conductor
son positivas; entonces, la velocidad de deriva tiene la misma dirección que el campo.
Suponga que hay n partículas con carga en movimiento por unidad de volumen.
Llamaremos n a la concentración de partículas, cuya unidad correspondiente del SI
es m23. Suponga que todas las partículas se mueven con la misma velocidad de deriva
con magnitud vd. En un intervalo de tiempo dt, cada partícula se mueve una distancia
vd dt. Las partículas que fluyen hacia fuera del extremo derecho del cilindro
sombreado cuya longitud es vd dt durante dt son partículas que estuvieron dentro del
cilindro al comienzo del intervalo dt. El volumen del cilindro es Avd dt, y el número
E S
I 5
dQ
dt
vS
d
E S
,
vS
d E S ,
25.2 La misma corriente es producida
por a) cargas positivas que se trasladan
en dirección del campo eléctrico , o
b) el mismo número de cargas negativas
que se desplazan con la misma rapidez
en la dirección opuesta a E S .
E S
+
I
A
vd dt
dQ
dt
Corriente I 5
vd
r
vd
r
vd
r
vd
r
vd
r
vd
r
25.3 La corriente I es la tasa de transferencia
de carga a través del área de la
sección transversal A. En promedio,
la componente aleatoria del movimiento
de cada partícula con carga es cero, y la
corriente va en la misma dirección de
sin que importe si las cargas en movimiento
son positivas (como se ilustra) o
negativas (véase la figura 25.2b).
E S
de partículas dentro es nAvd dt. Si cada partícula tiene una carga q, la carga dQ que
fluye hacia fuera por el extremo del cilindro durante el tiempo dt es
y la corriente es
La corriente por unidad de área de la sección transversal se denomina densidad de
corriente J:
Las unidades de la densidad de corriente son amperes por metro cuadrado (A>m2).
Si las cargas en movimiento son negativas en vez de positivas, como en la figura
25.2b, la velocidad de deriva es opuesta a Pero la corriente aún tiene la misma dirección
que en cada punto del conductor. Entonces, la corriente I y la densidad de
corriente J no dependen del signo de la carga, por lo que en las expresiones anteriores
para I y J, la carga q se sustituye por su valor absoluto
(expresión general para la corriente) (25.2)
(expresión general para la densidad de corriente) (25.3)
La corriente en un conductor es el producto de la concentración de las partículas en
movimiento con carga, la magnitud de la carga de cada una de esas partículas, la magnitud
de la velocidad de deriva y el área de la sección transversal del conductor.
Se puede definir además una densidad de corriente vectorial que incluye la dirección
de la velocidad de deriva:
(densidad de corriente vectorial) (25.4)
En la ecuación (25.4) no hay signos de valor absoluto. Si q es positiva, tiene la
misma dirección que si q es negativa, es opuesta a En cualquier caso, tiene
la misma dirección que La ecuación (25.3) da la magnitud J de la densidad
de corriente vectorial .
CUIDADO Densidad de corriente contra corriente Observe que la densidad de corriente
es un vector, pero la corriente I no lo es. La diferencia está en que la densidad de corriente
describe cómo fluyen las cargas en cierto punto, y la dirección del vector indica la dirección
del flujo en ese punto. En contraste, la corriente I describe la forma en que fluyen las cargas a
través de un objeto extendido, como un alambre. Por ejemplo, I tiene el mismo valor en todos
los puntos del circuito de la figura 25.3, pero no: la densidad de corriente está dirigida hacia
abajo en el lado izquierdo de la espira y hacia arriba en el lado derecho. La magnitud de también
puede variar alrededor del circuito. En la figura 25.3, la magnitud de la densidad de corriente
J 5 I>A es menor en la batería (que tiene un área de sección transversal mayor A) que
en los alambres (los cuales tienen un área pequeña de sección transversal). ❚
En general, un conductor puede contener varias clases diferentes de partículas con
carga en movimiento q1, q2, . . . , concentraciones n1, n2, . . . , y velocidades de deriva
con magnitudes vd1, vd2, . . . Un ejemplo es el flujo de corriente en una solución iónica
(figura 25.4). En una solución de cloruro de sodio, la corriente es transportada tanto
por los iones positivos de sodio como por iones negativos de cloro; la corriente total I
se encuentra sumando las corrientes debidas a cada clase de partícula con carga mediante
la ecuación (25.2). Asimismo, el total de densidad de corriente vectorial se
obtiene mediante la ecuación (25.4) para cada tipo de partícula con carga y sumando
los resultados.
En la sección 25.4 se verá que es posible tener una corriente estacionaria (es decir,
constante en el tiempo) sólo si el material conductor forma una espira cerrada, llamada
J S
J S
J S
J S
J S
J S
E S
.
J S
E S
Sv .
d E S ;
vS
d
J S
5 nqvS
d
J S
J 5
I
A
5 n 0 q 0 vd
I 5
dQ
dt
5 n 0 q 0 vd A
0 q 0 :
E S
E S
.
J 5
I
A
5 nqvd
I 5
dQ
dt
5 nqvd A
dQ 5 q 1 n Avd dt 2 5 nqvd A dt
25.4 Parte del circuito eléctrico que
incluye esta bombilla eléctrica pasa a
través de un vaso de precipitados que
contiene una solución de cloruro de sodio.
La corriente en la solución es transportada
tanto por cargas positivas (iones Na1)
como por cargas negativas (iones Cl2).
circuito completo. En una situación estacionaria, la carga total en cada segmento del
conductor es constante. Por lo tanto, la tasa de flujo de carga hacia fuera de un extremo
de un segmento en cualquier instante es igual a la tasa de flujo de carga hacia dentro
en el otro extremo del segmento, y la corriente es la misma en todas las secciones
transversales del circuito. Más adelante en este capítulo, cuando analicemos circuitos
eléctricos recurriremos a esta observación.
En muchos circuitos simples, como los de linternas de mano o los taladros eléctricos
inalámbricos, la dirección de la corriente siempre es la misma; a esto se le llama
corriente directa. Pero los aparatos domésticos, tales como tostadores, refrigeradores y
televisores utilizan corriente alterna, lo que significa que la corriente cambia continuamente
de dirección. En este capítulo sólo consideraremos la corriente directa. La corriente
alterna tiene muchas características especiales que ameritan un estudio detallado,
las cuales analizaremos en el capítulo 31.
Ejemplo 25.1 Densidad de corriente y velocidad de deriva en un alambre
Un alambre de cobre del número 18 (el calibre que por lo general
se utiliza en los cables para lámparas), tiene un diámetro nominal de
1.02 mm. Conduce una corriente constante de 1.67 A para alimentar
una bombilla de 200 watts. La densidad de electrones libres es de
8.5 3 1028 electrones por metro cúbico. Determine las magnitudes
de a) la densidad de corriente y b) la velocidad de deriva.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Este problema se apoya en las relaciones entre corriente,
densidad de corriente y velocidad de deriva.
PLANTEAR: Se conoce la corriente y las dimensiones del alambre, por
lo que se emplea la ecuación (25.3) para calcular la magnitud J de la
densidad de corriente. Después se emplea la ecuación (25.3) de nuevo
para obtener la velocidad de deriva vd a partir de J y la concentración
de electrones.
EJECUTAR: a) El área de la sección transversal es
A 5
pd2
4
5
p1 1.02 3 1023 m 2 2
4
5 8.17 3 1027 m2
La magnitud de la densidad de corriente es
b) Al despejar la magnitud de la velocidad de deriva vd en la ecuación
(25.3) , se obtiene
EVALUAR: A esta rapidez, un electrón requeriría 6700 s (alrededor de
1 hora con 50 minutos) para recorrer un alambre con longitud de 1 m.
La rapidez del movimiento aleatorio de los electrones es del orden
de 106 m>s, por lo que en este ejemplo la velocidad de deriva es cerca
de 1010 veces más lenta que la velocidad del movimiento aleatorio.
¡Imagine a los electrones rebotando en forma frenética, por todas partes,
con una deriva sumamente lenta!
5 1.5 3 1024 m/s 5 0.15 mm/s
vd 5
J
n 0 q 0 5
2.04 3 106 A/m2
1 8.5 3 1028 m23 2 021.60 3 10219 C 0
J 5
I
A
5
1.67 A
8.17 3 1027 m2 5 2.04 3 106 A/m2
Evalúe su comprensión de la sección 25.1 Suponga que se remplaza el
alambre del ejemplo 25.1 por otro de cobre de calibre 12, el cual tiene el doble de
diámetro que uno de calibre 18. Si la corriente es la misma, ¿qué efecto tendría esto en la
magnitud de la velocidad de deriva vd? i) Ninguno, vd no cambiaría; ii) el valor de vd se
duplicaría; iii) vd sería cuatro veces mayor; iv) vd tendría un valor igual a la mitad;
v) vd sería la cuarta parte.

25.2 Resistividad
La densidad de corriente en un conductor depende del campo eléctrico y de las
propiedades del material. En general, esta dependencia es muy compleja. Pero para
ciertos materiales, en especial metálicos, a una temperatura dada, es casi directamente
proporcional a y la razón de las magnitudes de E y J es constante. Esta relación,
llamada ley de Ohm, fue descubierta en 1826 por el físico alemán Georg Simon
Ohm (1787-1854). En realidad, la palabra “ley” debería escribirse entre comillas, ya
que la ley de Ohm —al igual que la ecuación de los gases ideales y la ley de Hooke—
es un modelo idealizado que describe muy bien el comportamiento de ciertos
materiales, pero no es una descripción general de toda la materia. En el siguiente análisis
supondremos que es válida la ley de Ohm, aun cuando existen muchos casos en
que no lo es. La situación es comparable a nuestra representación del comportamiento
de las fuerzas de fricción estática y cinética, las cuales fueron tratadas como si fueran
directamente proporcionales a la fuerza normal, aunque sabíamos que en el mejor
de los casos ésta era una descripción aproximada.
E S
,
E S
J S
J S
La resistividad r de un material se define como la razón de las magnitudes del
campo eléctrico y la densidad de corriente:
(definición de resistividad) (25.5)
Cuanto mayor sea la resistividad, tanto mayor será el campo necesario para causar
una densidad de corriente dada, o tanto menor la densidad de corriente ocasionada
por un campo dado. De la ecuación (25.5) se desprende que las unidades de r son
Como se verá en la siguiente sección, 1 V>A se llama un
ohm (1 V; se usa la letra griega V, omega, que es una aliteración de “ohm”). Por consiguiente,
las unidades del SI para r son (ohm-metros). La tabla 25.1 lista algunos
valores representativos de resistividad. Un conductor perfecto tendría una resistividad
igual a cero; y un aislante perfecto tendría resistividad infinita. Los metales y las aleaciones
tienen las menores resistividades y son los mejores conductores. Las resistividades de
los aislantes son mayores que las de los metales en un factor enorme, del orden de 1022.
El recíproco de la resistividad es la conductividad. Sus unidades son
Los buenos conductores de la electricidad tienen una conductividad mayor que la de
los aislantes. La conductividad es el análogo eléctrico directo de la conductividad térmica.
Si se compara la tabla 25.1 con la 17.5 (conductividades térmicas), se observa
que los buenos conductores eléctricos, como los metales, por lo general son buenos
conductores del calor. Los malos conductores de la electricidad, como la cerámica y
los materiales plásticos, también son malos conductores térmicos. En un metal los
electrones libres que transportan la carga en la conducción eléctrica también son el
mecanismo principal para la conducción del calor, por lo que es de esperar que haya
una correlación entre la conductividad eléctrica y la térmica. Debido a la enorme diferencia
en conductividad entre los conductores eléctricos y los aislantes, es fácil confinar
las corrientes eléctricas a trayectorias o circuitos bien definidos (figura 25.5). La
variación en la conductividad térmica es mucho menor, sólo alrededor de un factor de
103, y por lo general es imposible confinar flujos de calor hasta ese grado.
Los semiconductores tienen resistividades intermedias entre las de los metales y las
de los aislantes. Estos materiales son importantes en virtud de la forma en que sus resistividades
se ven afectadas por la temperatura y por pequeñas cantidades de impurezas.
Un material que obedece razonablemente bien la ley de Ohm se llama conductor
óhmico o conductor lineal. Para esos materiales, a una temperatura dada, r es una
constante que no depende del valor de E. Muchos materiales muestran un comportamiento
que se aparta mucho de la ley de Ohm, por lo que se denominan no óhmicos o
no lineales. En estos materiales, J depende de E de manera más complicada.
Las analogías con el flujo de fluidos son de gran ayuda para desarrollar la intuición
con respecto a la corriente y los circuitos eléctricos. Por ejemplo, en la fabricación de
vino o jarabe de maple, en ocasiones se filtra el producto para retirar los sedimentos.
Una bomba fuerza al fluido sometiéndolo a presión para que pase a través del filtro; si la
tasa de flujo (análoga a J) es proporcional a la diferencia de presión entre los lados corriente
arriba y corriente abajo (análoga a E), el comportamiento es análogo al que describe
la ley de Ohm.
1V # m2 21.
V # m
1V/m2 / 1A/m2 2 5 V # m/A.
r 5
E
J
Trayectorias conductoras
(trazos)
25.5 Los “alambres” de cobre, o trazos,
en esta tarjeta de circuitos están impresos
directamente sobre la superficie de la
tarjeta aislante de color oscuro. Aun
cuando los trazos se encuentran muy
próximos entre sí (a un milímetro de
distancia), la tarjeta tiene una resistividad
tan grande (y baja conductividad) en
comparación con el cobre, que ninguna
corriente puede fluir entre los trazos.
Tabla 25.1 Resistividades a temperatura ambiente (20 °C)
Sustancia Sustancia
Conductores Semiconductores
Metales Plata Carbono puro (grafito)
Cobre Germanio puro 0.60
Oro Silicio puro 2300
Aluminio Aislantes
Tungsteno Ámbar
Acero Vidrio
Plomo Lucita
Mercurio Mica
Aleaciones Manganina (84% Cu, 12% Mn, 4% Ni) Cuarzo (fundido)
Constantán (60% Cu, 40% Ni) Azufre
Nicromel Teflón
Madera 108–1011
100 3 1028 .1013
49 3 1028 1015
44 3 1028 75 3 1016
95 3 1028 1011–1015
22 3 1028 .1013
20 3 1028 1010–1014
5.25 3 1028 5 3 1014
2.75 3 1028
2.44 3 1028
1.72 3 1028
1.47 3 1028 3.5 3 1025
r(V # m) r(V # m)
Resistividad y temperatura
La resistividad de un conductor metálico casi siempre se incrementa al aumentar la
temperatura, como se ilustra en la figura 25.6a. A medida que la temperatura se incrementa,
los iones del conductor vibran con mayor amplitud, lo que hace más probable
que un electrón en movimiento colisione con un ion, como se ilustra en la figura 25.1;
esto dificulta la deriva de los electrones a través del conductor y con ello reduce la corriente.
En un pequeño intervalo de temperatura (hasta 100 °C, aproximadamente), la
resistividad de un metal queda representada en forma adecuada por la ecuación:
(dependencia de la resistividad
con respecto a la temperatura)
(25.6)
donde r0 es la resistividad de una temperatura de referencia T0 (a menudo 0 °C o
20 °C) y r(T) es la resistividad a la temperatura T, que puede ser mayor o menor que
T0. El factor a se llama coeficiente de temperatura de la resistividad, y en la tabla
25.2 se presentan algunos de sus valores representativos. La resistividad de la aleación
llamada manganina es prácticamente independiente de la temperatura.
r 1 T 2 5 r0 31 1 a1 T 2 T0 2 4
Metal: la resistividad se
incrementa con el aumento
de temperatura.
Semiconductor: la resistividad
disminuye con el aumento de
temperatura.
Superconductor: a temperaturas
por debajo de Tc,
la resistividad es igual
a cero.
O
T
a)
T0
r
r0 Pendiente 5 r0a
O
T
b) r
O
T
c)
Tc
r
25.6 Variación de la resistividad r con
la temperatura absoluta T para a) un metal
normal, b) un semiconductor y c) un
superconductor. En a), la aproximación
lineal a r como función de T se muestra
con línea color verde; la aproximación
coincide exactamente en T 5 T0, donde
r 5 r0.
La resistividad del grafito (un no metal) disminuye con el aumento de la temperatura,
ya que a temperaturas más elevadas, más electrones “se desprenden” de los átomos
y se vuelven móviles; de ahí que el coeficiente de temperatura (o térmico) de la
resistividad del grafito sea negativo. Este mismo comportamiento lo presentan los semiconductores
(figura 25.6b). Por consiguiente, medir la resistividad de un pequeño
cristal semiconductor significa medir la temperatura con mucha exactitud; éste es
el principio de un tipo de termómetro llamado termistor.
Algunos materiales, que incluyen algunas aleaciones y óxidos metálicos, presentan
un fenómeno llamado superconductividad. Al principio, conforme la temperatura
desciende, la resistividad disminuye de manera uniforme, como la de cualquier metal.
Pero después de cierta temperatura crítica, Tc, ocurre una fase de transición, y la resistividad
cae abruptamente hasta cero, como se ilustra en la figura 25.6c. Una vez que
se ha establecido una corriente en un superconductor en forma de anillo, continúa en
forma indefinida sin la presencia de ningún campo que la impulse.
La superconductividad fue descubierta en 1911 por el físico holandés Heike Kamerlingh
Onnes (1853-1926). Él descubrió que a temperaturas muy bajas, inferiores a 4.2 K,
la resistividad del mercurio disminuía de manera repentina hasta cero. Durante los
75 años siguientes, la Tc más alta que se logró fue de 20 K. Esto quería decir que la superconductividad
se conseguía sólo cuando el material se enfriaba por medio del costoso
helio líquido, con punto de ebullición de 4.2 K, o hidrógeno líquido explosivo, cuyo
punto de ebullición es de 20.3 K. Sin embargo, en 1986, Karl Müller y Johannes Bednorz
descubrieron un óxido de bario, lantano y cobre, con Tc cercana a 40 K, con lo que
comenzó la carrera por desarrollar materiales superconductores de “alta temperatura”.
En 1987 se descubrió un óxido complejo de itrio, cobre y bario con un valor de Tc
muy por encima de la temperatura de ebullición de 77 K del nitrógeno líquido, un refrigerante
de bajo costo y seguro. La marca actual (en 2006) para la Tc a presión atmosférica
es de 138 K, y los materiales superconductores a temperatura ambiente pueden
llegar a ser una realidad. Las implicaciones de estos descubrimientos para los sistemas
de distribución de energía, diseño de computadoras y sistemas de transporte son
enormes. Mientras tanto, en aceleradores de partículas y ciertos trenes experimentales
de levitación magnética se utilizan electroimanes superconductores enfriados con helio
líquido. Los superconductores tienen otras propiedades exóticas que requieren la
comprensión del magnetismo, un tema que estudiaremos en el capítulo 29.
Tabla 25.2 Coeficientes de temperatura de la resistividad
(valores aproximados cerca de la temperatura ambiente)
Material Material
Aluminio 0.0039 Plomo 0.0043
Latón 0.0020 Manganina 0.00000
Carbono (grafito) Mercurio 0.00088
Constantán 0.00001 Nicromel 0.0004
Cobre 0.00393 Plata 0.0038
Hierro 0.0050 Tungsteno 0.0045
20.0005
a 3 ( 8C) 21 4 a3 ( 8C) 21 4
Evalúe su comprensión de la sección 25.2 Se mantiene un campo eléctrico
constante dentro de un elemento semiconductor al mismo tiempo que se reduce la
temperatura de éste. ¿Qué sucede con la densidad de corriente en el semiconductor?
i) Aumenta; ii) disminuye; iii) permanece sin cambio.

25.3 Resistencia
Para un conductor con resistividad r, con densidad de corriente en un punto, el
campo eléctrico está dado por la ecuación (25.5), que se escribe como
(25.7)
Cuando se cumple la ley de Ohm, r es constante e independiente de la magnitud del
campo eléctrico, por lo que es directamente proporcional a Sin embargo, es frecuente
que estemos más interesados en el total de corriente en un conductor que en ,
y también que tengamos más interés en la diferencia de potencial entre las terminales del
conductor que en Esto se debe en buena parte a que la corriente y la diferencia
de potencial son mucho más fáciles de medir que y
Suponga que nuestro conductor es un alambre con sección transversal uniforme de
área A y longitud L, como se ilustra en la figura 25.7. Sea V la diferencia de potencial entre
los extremos de mayor y menor potencial del conductor, de manera que V es positiva.
La dirección de la corriente siempre va del extremo de mayor potencial al de menor
potencial. Esto se debe a que en un conductor la corriente fluye en dirección de sin importar
el signo de las cargas en movimiento (figura 25.2), y porque apunta en la dirección
del potencial eléctrico decreciente (véase la sección 23.2). Amedida que la corriente
fluye a través de la diferencia de potencial, la energía potencial eléctrica se pierde; esta
energía se transfiere a los iones del material conductor durante las colisiones.
También se puede relacionar el valor de la corriente I con la diferencia de potencial
entre los extremos del conductor. Si las magnitudes de la densidad de corriente
y el campo eléctrico son uniformes a través del conductor, la corriente total I está
dada por I 5 JA, y la diferencia de potencial V entre los extremos es V 5 EL. Cuando
se despejan J y E, respectivamente, en estas ecuaciones y se sustituyen los resultados
en la ecuación (25.7), se obtiene lo siguiente:
(25.8)
Esto demuestra que cuando r es constante, la corriente total I es proporcional a la diferencia
de potencial V.
La razón de V a I para un conductor particular se llama resistencia, R:
(25.9)
Al comparar esta definición de R con la ecuación (25.8), se observa que la resistencia
R de un conductor particular se relaciona con la resistividad r del material mediante
la ecuación
(relación entre la resistencia
y la resistividad) (25.10)
Si r es constante, como en el caso de los materiales óhmicos, entonces también lo es R.
La ecuación
(25.11)
suele identificarse con la ley de Ohm, pero es importante entender que el contenido
real de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (para ciertos materiales) de V con
respecto a I, o de J con respecto a E. La ecuación (25.9) o la (25.11) definen la resistencia
R para cualquier conductor, ya sea que cumpla o no la ley de Ohm, pero sólo
cuando R es constante es correcto llamar a esta relación ley de Ohm.
(relación entre voltaje,
V 5 IR corriente y resistencia)
R 5
rL
A
R 5
V
I
V
L
5
rI
A
o bien, V 5
rL
A I
E S
J S
E S
E S
,
E S
. J S
E S
.
J S
J S
. E S
E S
5 rJ S
E S
J S
La corriente fluye
del mayor potencial
eléctrico al menor.
L
V 5 diferencia
de potencial entre
los extremos
I
I
A
Mayor
potencial
Menor
potencial
JS
ES
25.7 Conductor con sección transversal
uniforme. La densidad de corriente
es uniforme sobre cualquier sección
transversal, y el campo eléctrico
es constante en toda la longitud.
Interpretación de la resistencia
La ecuación (25.10) muestra que la resistencia de un alambre u otro conductor de sección
transversal uniforme es directamente proporcional a su longitud e inversamente
proporcional al área de su sección transversal. También es proporcional a la resistividad
del material del que está hecho el conductor.
Una vez más resulta útil la analogía del líquido que fluye. En forma análoga a lo
que describe la ecuación (25.10), una manguera angosta ofrece más resistencia al flujo
que una ancha, y una manguera larga tiene más resistencia que una corta (figura 25.8).
Se puede incrementar la resistencia al flujo si se rellena la manguera con algodón o
arena; esto equivale a aumentar la resistividad. La tasa de flujo del agua es aproximadamente
proporcional a la diferencia de presión entre los extremos de la manguera. La
tasa de flujo es análoga a la corriente, y la diferencia de presión es análoga a la diferencia
de potencial (“voltaje”). Sin embargo, no hay que llevar esta analogía demasiado
lejos; la tasa de flujo del agua en un tubo por lo general no es proporcional al área de
su sección transversal (véase la sección 14.6).
La unidad del SI para la resistencia es el ohm, igual a un volt por ampere (1 V 5
1 V>A). También son de uso común el kiloohm (1 kV 5 103 V) y el megaohm
(1 MV 5 106 V). Un alambre de cobre de calibre 12 y 100 m de longitud —que es
el tamaño usual en instalaciones domésticas—, a temperatura ambiente tiene una
resistencia de 0.5 V aproximadamente. Una bombilla de 100 Wy 120 V tiene una resistencia
(a su temperatura de operación) de 140 V. Si la misma corriente I fluye tanto
por el alambre de cobre como por la bombilla, la diferencia de potencial V 5 IR es
mucho mayor a través de la bombilla, y se pierde mucha más energía potencial por
carga en esta última. La energía que se pierde se convierte en luz y calor en el filamento
de la bombilla. Usted no desearía que las instalaciones de su casa se calentaran
al rojo vivo, por lo que su resistencia se mantiene baja empleando conductores de
baja resistividad y una gran área de sección transversal.
Como la resistividad de un material varía con la temperatura, la resistencia de un
conductor específico también cambia con la temperatura. Para intervalos de temperatura
que no son demasiado elevados, esta variación sigue aproximadamente una relación
lineal, análoga a la ecuación (25.6):
(25.12)
En esta ecuación, R(T) es la resistencia a la temperatura T, y R0 es la resistencia a la
temperatura T0, que con frecuencia se toma como 0 °C o 20 °C. El coeficiente de temperatura
de la resistencia a es la misma constante que aparece en la ecuación (25.6)
si las dimensiones L y A en la ecuación (25.10) no cambian apreciablemente con la
temperatura; de hecho, éste es el caso para la mayoría de materiales conductores (véase
el problema 25.67). Dentro de los límites de validez de la ecuación (25.12), el cambio
en la resistencia que resulta de un cambio de temperatura T 2 T0 está dado por
R0a(T 2 T0).
El dispositivo de un circuito hecho para tener un valor específico de resistencia entre
sus extremos se llama resistor. Se pueden adquirir fácilmente en el comercio resistores
desde 0.01 hasta 107 V. Es frecuente que los resistores individuales que se
usan en los circuitos electrónicos sean cilíndricos, midan pocos milímetros de diámetro
y de longitud, y tengan alambres que sobresalen de sus extremos. La resistencia se
indica con un código estándar que usa tres o cuatro bandas de colores cerca de un extremo
(figura 25.9), de acuerdo con el esquema que se presenta en la tabla 25.3. Las
primeras dos bandas (comenzando por la banda más cercana a un extremo) son dígitos,
y la tercera es un multiplicador de potencia de 10, como muestra la figura 25.9.
Por ejemplo, el verde-violeta-rojo significa 57 3 102 V, o 5.7 kV. La cuarta banda, si
está presente, indica la precisión (tolerancia) del valor; la ausencia de banda significa
620%, una banda plateada quiere decir 610%, y una dorada indica 65%. Otra característica
importante de un resistor es la energía eléctrica máxima que es capaz de
disipar sin sufrir daños. Volveremos a este punto en la sección 25.5.
Para un resistor que obedece la ley de Ohm, la gráfica de corriente como función
de la diferencia de potencial (voltaje) es una línea recta (figura 25.10a). La pendiente
de la recta es 1>R. Si el signo de la diferencia de potencial cambia, también cambia el
R1 T 2 5 R0 31 1 a1 T 2 T0 2 4
25.8 Una manguera larga contra
incendios ofrece mucha resistencia
al flujo del agua. Para hacer que el agua
fluya rápido a través de la manguera,
el extremo de la toma debe estar a una
presión mucho más alta que el extremo
por donde sale el líquido. En forma
análoga, debe haber una diferencia de
potencial grande entre los extremos
de un conductor largo para que pueda
pasar por él una corriente eléctrica
sustancial.
Tolerancia
Primer dígito
Segundo dígito Multiplicador
25.9 Este resistor tiene una resistencia
de 5.7 kV, y precisión (tolerancia) de
610%.
Tabla 25.3 Códigos de color para los
resistores
Valor como Valor como
Color dígito multiplicador
Negro 0 1
Café 1 10
Rojo 2
Naranja 3
Amarillo 4
Verde 5
Azul 6
Violeta 7
Gris 8
Blanco 9 109
108
107
106
105
104
103
102
signo de la corriente producida; en la figura 25.7 esto corresponde a intercambiar los
extremos de mayor y menor potencial del conductor, por lo que el campo eléctrico, la
densidad de corriente y la corriente invierten su dirección. En dispositivos que no
obedecen la ley de Ohm, la relación entre el voltaje y la corriente tal vez no esté en
proporción directa, y quizá sea diferente para las dos direcciones de la corriente. La
figura 25.10b muestra el comportamiento de un diodo semiconductor, un dispositivo
que se usa para convertir corriente alterna en directa, y que realiza muchas funciones
lógicas en los circuitos de cómputo. Para potenciales V positivos del ánodo (una de
las dos terminales del diodo) con respecto del cátodo (la otra terminal), I aumenta en
forma exponencial con el incremento de V; para potenciales negativos, la corriente es
extremadamente pequeña. Así, una diferencia de potencial positiva V ocasiona que
una corriente fluya en la dirección positiva, pero una diferencia de potencial negativa
origina poca o ninguna corriente. De este modo, un diodo actúa en los circuitos como
una válvula de un solo sentido.
V
Resistor óhmico (por ejemplo, un alambre de
metal comn): a temperat ura dada, la corriente
es proporcional al voltaje.
a)
O
Pendiente 5
1
R
I
Diodo semiconductor: resistor no óhmico.
En dirección de la
corriente y el voltaje
positivos, I se incrementa
en forma
no lineal con V.
En dirección de la
corriente y el voltaje
negativos, fluye
poca corriente.
b)
O
I
V
25.10 Relaciones corriente-voltaje para dos dispositivos. Sólo para un resistor que
obedezca la ley de Ohm como en a), la corriente I es proporcional al voltaje V.
Ejemplo 25.2 Campo eléctrico, diferencia de potencial y resistencia en un alambre
El alambre de cobre calibre 18 del ejemplo 25.1 (sección 25.1) tiene
un diámetro de 1.02 mm y sección transversal de 8.20 3 1027 m2.
Transporta una corriente de 1.67 A. Calcule a) la magnitud del campo
eléctrico en el alambre, b) la diferencia de potencial entre dos puntos
del alambre separados por una distancia de 50.0 m; c) la resistencia de
un trozo de 50.0 m de longitud de ese alambre.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Se dan los valores de la superficie de la sección transversal
A y la corriente I. Las variables que se buscan son la magnitud
del campo eléctrico E, la diferencia de potencial V y la resistencia R.
PLANTEAR: La magnitud de la densidad de corriente es J 5 I>A, y la
resistividad r se da en la tabla 25.1. Con la ecuación (25.5) se calcula
la magnitud del campo eléctrico, E 5 rJ. Una vez calculado E, la diferencia
de potencial es tan sólo el producto de E por la longitud del
alambre. La resistencia se calcula mediante la ecuación (25.11).
EJECUTAR: a) De la tabla 25.1, la resistividad del cobre es
Por lo tanto, con la ecuación (25.5),
5 0.0350 V/m
E 5 rJ 5
rI
A
5
1 1.72 3 1028 V # m2 1 1.67 A 2
8.20 3 1027 m2
1028 V # m.
1.72 3
b) La diferencia de potencial está dada por
c) De la ecuación (25.11), la resistencia de un trozo del alambre de
50.0 m de longitud es
EVALUAR: Para comprobar el resultado del inciso c), se calcula la resistencia
por medio de la ecuación (25.10):
Conviene hacer hincapié en que la resistencia del alambre se define
como la razón entre el voltaje y la corriente. Si el alambre estuviera hecho
de material no óhmico, entonces R sería diferente para distintos
valores de V, pero siempre está dada por R 5 V>I. La resistencia también
está dada por R 5 rL>A; si el material es no óhmico, r no es constante,
pero depende de E (o, en forma equivalente, de V 5 EL).
R 5
rL
A
5
1 1.72 3 1028 V # m2 1 50.0 m 2
8.20 3 1027 m2 5 1.05 V
R 5
V
I
5
1.75 V
1.67 A
5 1.05 V
V 5 EL 5 1 0.0350 V/m2 1 50.0 m 2 5 1.75 V
Ejemplo 25.3 Dependencia de la resistencia con respecto a la temperatura
Suponga que la resistencia del alambre del ejemplo 25.2 es 1.05 V a
20 °C de temperatura. Calcule la resistencia a 0 °C y a 100 °C.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Este ejemplo tiene que ver con la manera en que la
resistencia (la variable buscada) depende de la temperatura. Como se
aprecia en la tabla 25.2, esa dependencia difiere para distintas sustancias.
PLANTEAR: Las variables que se buscan son los valores de la resistencia
R del alambre a dos temperaturas, T 5 0 °C y T 5 100 °C. Para
encontrar estos valores se emplea la ecuación (25.12). Observe que se
da la resistencia R0 5 1.05 V a la temperatura de referencia T0 5
20 °C, y del ejemplo 25.2 se sabe que el alambre es de cobre.
EJECUTAR: De acuerdo con la tabla 25.2, el coeficiente de temperatura
de la resistividad del cobre es a 5 0.00393 (C°)21. De la ecuación
(25.12), la resistencia a T 5 0 °C es
5 0.97 V
5 1 1.05 V2 51 1 30.00393 1 C° 2 21 4 30 °C 2 20 °C46
R 5 R0 31 1 a1 T 2 T0 2 4
A
EVALUAR: La resistencia a 100 °C es mayor que a 0 °C en un factor
de (1.38 V)>(0.97 V) 5 1.42. En otras palabras, al aumentar la temperatura
del alambre común de cobre de 0 °C a 100 °C, su resistencia aumenta
en un 42%. De la ecuación (25.11), V 5 IR, esto significa que se
requiere un 42% más de voltaje para producir la misma corriente I a
100 °C que a 0 °C. Éste es un efecto sustancial que debe tenerse en
cuenta al diseñar circuitos eléctricos que deban operar en un intervalo
amplio de temperaturas.
5 1.38 V
R 5 1 1.05 V2 51 1 30.00393 1 C° 2 21 4 3100 °C 2 20 °C46
T 5 100 °C,
Ejemplo 25.4 Cálculo de la resistencia
El cilindro hueco que se ilustra en la figura 25.11 tiene una longitud L y
radios interior y exterior a y b. Está hecho de un material cuya resistividad
es r. Se establece una diferencia de potencial entre las superficies interior
y exterior del cilindro (cada una de las cuales es una superficie
equipotencial), de manera que la corriente fluye en forma radial a través
del cilindro. ¿Cuál es la resistencia a este flujo radial de corriente?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: La figura 25.11 indica que la corriente fluye de manera
radial del interior del conductor hacia el exterior, no a lo largo del
conductor, como se ilustra en la figura 25.7. De ahí que se deban usar
los conceptos de esta sección para obtener una fórmula nueva para la
resistencia (la variable buscada) que sea apropiada para un flujo radial
de corriente.
PLANTEAR: No es posible utilizar directamente la ecuación (25.10)
porque la sección transversal por la que viaja la carga no es constante,
sino que varía de 2paL en la superficie interna, a 2pbL en la externa.
En vez de ello, calculamos la resistencia al flujo de corriente radial a
través de una coraza (capa) cilíndrica delgada de radio interior r y espesor
dr. Después combinamos las resistencias para todas esas corazas
entre el radio interior y el exterior del cilindro.
EJECUTAR: El área A para la coraza es 2prL, el área superficial que
encuentra la corriente cuando fluye al exterior. La longitud de la trayectoria
de la corriente a través de la coraza es dr. La resistencia dR de
esta coraza, entre las superficies interna y externa, es la de un conductor
con longitud dr y área 2prL:
La corriente tiene que pasar sucesivamente a través de todas esas
corazas entre los radios a y b. De la ecuación (25.11), la diferencia de
potencial a través de una coraza es dV 5 IdR, y la diferencia de potencial
total entre las superficies interna y externa es la suma de las diferencias
de potencial para todas las corazas. La corriente total es la
misma a través de cada coraza, por lo que la resistencia total es la suma
dR 5
r dr
2prL
de las resistencias de todas las corazas. Si el área 2prL fuera constante,
bastaría con integrar dr de r 5 a a r 5 b para obtener la longitud total
de la trayectoria de la corriente. Pero el área se incrementa conforme la
corriente pasa a través de corazas de mayor radio, por lo que tenemos
que integrar la expresión anterior para dR. Entonces, la resistencia total
está dada por
EVALUAR: La geometría del conductor que se ilustra en la figura 25.11
desempeña un papel importante en el sistema nervioso del cuerpo humano.
Cada neurona, o célula nerviosa, tiene una extensión larga llamada
fibra nerviosa o axón. Un axón tiene una membrana cilíndrica cuya
forma se asemeja mucho a la de un resistor como el de la figura 25.11,
con un fluido conductor en el interior de la membrana y otro fuera de
ésta. Lo común es que todo el fluido interior esté al mismo potencial,
por lo que no hay corriente que tienda a fluir a lo largo del axón. Sin
embargo, si un axón se ve estimulado en cierto punto de su longitud, iones
con carga fluyen radialmente en ese punto a través de la membrana
cilíndrica, como se aprecia en la figura 25.11. Este flujo causa una diferencia
de potencial entre ese punto y otros puntos a lo largo del axón, lo
que permite que las señales neurológicas fluyan en esa dirección.
R 5 3dR 5
r
2pL
3
b
a
dr
r
5
r
2pL
ln
b
a
ar
L
b
dr
r
J
J
J J
Sección transversal
25.11 Cálculo de la resistencia para un flujo de corriente radial.
Evalúe su comprensión de la sección 25.3 Suponga que se incrementa el voltaje a
través del alambre de cobre de los ejemplos 25.2 y 25.3. El voltaje incrementado hace que fluya
más corriente, lo que provoca que suba la temperatura del conductor. (Esto mismo ocurre
en las bobinas de un horno o tostador eléctrico cuando se les aplica un voltaje. Esto se estudiará
con más profundidad en la sección 25.5.) Si se duplica el voltaje a través del alambre, aumenta
la corriente en éste. ¿En qué factor se incrementa? i) 2; ii) más de 2; iii) menos de 2.

25.4 Fuerza electromotriz y circuitos
Para que un conductor tenga una corriente constante, debe ser parte de una trayectoria
que forme una espira cerrada o circuito completo. A continuación se explica por qué.
Si se establece un campo eléctrico dentro de un conductor aislado con resistividad
r que no es parte de un circuito completo, comienza a fluir una corriente cuya densidad
es (figura 25.12a). Como resultado, en un extremo del conductor se
acumula con rapidez una carga neta positiva, y en el otro extremo se acumula una carga
neta negativa (figura 25.12b). Estas cargas producen un campo eléctrico en la
dirección opuesta a lo que ocasiona que el campo eléctrico total y, por lo tanto,
la corriente disminuyan. En una pequeña fracción de segundo, se acumula suficiente
carga en los extremos del conductor, de manera que el campo eléctrico total es
dentro del conductor. Luego, también , y la corriente cesa
por completo (figura 25.12c). Por lo tanto, no puede haber un movimiento constante
de carga en un circuito incompleto.
Para ver cómo mantener una corriente constante en un circuito completo, recordemos
un hecho básico sobre la energía potencial eléctrica: si una carga q recorre un circuito
completo y regresa a su punto de partida, la energía potencial debe ser la misma
al final y al principio del recorrido. Como se dijo en la sección 25.3, siempre hay una
disminución de la energía potencial cuando se desplazan cargas a través de un material
conductor ordinario con resistencia. Así que debe haber una parte en el circuito en
la que la energía potencial se incremente.
El problema es análogo a una fuente de agua ornamental que recicla el líquido. El
agua cae desde las aberturas en la parte superior, forma cascadas en las terrazas y escurre
(se desplaza en la dirección en que disminuye la energía potencial gravitacional)
para acumularse en la pileta inferior. Después, una bomba la lleva de nuevo a la
parte superior (incrementando la energía potencial) y el ciclo se repite. Sin la bomba,
el agua caería a la base y se quedaría ahí.
Fuerza electromotriz
En un circuito eléctrico debe haber en algún punto de la espira un dispositivo que actúe
como la bomba hidráulica de la fuente (figura 25.13). En este dispositivo una carga
viaja “hacia arriba”, del lugar donde hay menos energía potencial hacia donde hay
más, aun cuando la fuerza electrostática trate de llevarla de la mayor energía potencial
a la menor. La dirección de la corriente en ese dispositivo es del potencial más
bajo al más alto, exactamente lo opuesto de lo que ocurre en un conductor ordinario.
La influencia que hace que la corriente fluya del potencial menor al mayor se llama
fuerza electromotriz (se abrevia fem). Éste es un término inadecuado porque la fem
no es una fuerza, sino una cantidad de energía por unidad de carga, como el potencial.
La unidad del SI de la fem es la misma que la del potencial, el volt (1V 5 1 J>C). Una
batería de linterna común tiene una fem de 1.5 V; esto significa que la batería hace un
trabajo de 1.5 J por cada coulomb de carga que pasa a través de ella. Para denotar la
fem se usará el símbolo (la letra E manuscrita).
Todo circuito completo con corriente constante debe incluir algún dispositivo que
provea una fem. Tal dispositivo recibe el nombre de fuente de fem. Algunos ejemplos
de fuentes de fem son las baterías, los generadores eléctricos, las celdas solares,
los termopares y las celdas de combustible. Todos estos dispositivos convierten
energía de alguna forma (mecánica, química, térmica, etcétera) en energía potencial
eléctrica y la transfieren al circuito al que está conectado el dispositivo. Una fuente
E
J S
5 0 E S
5 E S
1 1 E S
2 5 0
E S
1 ,
E S
2
J S
5 E S 1/r
E S
1
25.12 Si se produce un campo eléctrico
dentro de un conductor que no forma
parte de un circuito completo, la corriente
fluye sólo durante un breve tiempo.
25.13 Así como una fuente de agua
requiere de una bomba, un circuito eléctrico
necesita una fuente de fuerza electromotriz
para mantener una corriente constante.
ideal de fem mantiene una diferencia de potencial constante entre sus terminales, independiente
de la corriente que pasa a través de ella. La fuerza electromotriz se define
cuantitativamente como la magnitud de esta diferencia de potencial. Como se verá,
las fuentes ideales de este tipo son idealizaciones, como el plano sin fricción y la
cuerda sin masa. Más adelante se estudiará en qué difiere el comportamiento de las
fuentes de fem en la vida real con respecto a este modelo idealizado.
La figura 25.14 es un diagrama de una fuente de fem ideal que mantiene una diferencia
de potencial entre los conductores a y b, llamados terminales del dispositivo.
La terminal a, marcada con 1, se mantiene a un potencial más alto que la terminal b,
marcada con 2. Asociado con esta diferencia de potencial hay un campo eléctrico
en la región que rodea a las terminales, tanto adentro como afuera de la fuente. El
campo eléctrico en el interior del dispositivo está dirigido de a a b, como se ilustra.
Una carga q dentro de la fuente experimenta una fuerza eléctrica Pero la
fuente suministra además una influencia adicional, la cual se representa como una
fuerza no electrostática Esta fuerza, que opera dentro del dispositivo, empuja la
carga de b a a “cuesta arriba” y contra la fuerza eléctrica Así, mantiene la diferencia
de potencial entre las terminales. Si no estuviera presente, la carga fluiría
entre las terminales hasta que la diferencia de potencial fuera igual a cero. El origen
de la influencia adicional depende de la clase de fuente. En un generador proviene
de las fuerzas del campo magnético de las cargas en movimiento. En una batería o
celda de combustible está asociada con procesos de difusión y concentraciones electrolíticas
variables que son el resultado de reacciones químicas. En una máquina
electrostática como un generador Van de Graaff (véase la figura 22.27), se aplica una
fuerza mecánica real por medio de una banda o rueda en movimiento.
Si una carga positiva q se desplaza de b a a en el interior de la fuente, la fuerza no
electrostática realiza una cantidad positiva de trabajo sobre la carga. Este
desplazamiento es opuesto a la fuerza electrostática por lo que la energía potencial
asociada con la carga se incrementa en una cantidad igual a qVab, donde Vab 5 Va 2 Vb
es la diferencia de potencial (positivo) del punto a con respecto al punto b. Para la fuente
ideal de fem que se ha descrito, y tienen igual magnitud pero dirección opuesta,
por lo que el trabajo total realizado sobre la carga q es igual a cero; hay un aumento de la
energía potencial pero ningún cambio en la energía cinética de la carga. Es como levantar
un libro del piso a un estante elevado con rapidez constante. El incremento en energía
potencial es igual al trabajo no electrostático Wn, por lo que o bien,
(fuente ideal de fem) (25.13)
Ahora, consideremos que se forma un circuito completo conectando un alambre
con resistencia R a las terminales de una fuente (figura 25.15). La diferencia de potencial
entre las terminales a y b establece un campo eléctrico dentro del alambre; esto
hace que la corriente fluya alrededor de la espira de a hacia b, del potencial más alto
al más bajo. Donde el alambre se dobla, persisten cantidades iguales de carga positiva
y negativa en el “interior” y en el “exterior” del doblez. Estas cargas ejercen las fuerzas
que hacen que la corriente siga los dobleces del alambre.
De la ecuación (25.11), la diferencia de potencial entre los extremos del alambre
en la figura 25.15 está dada por Vab 5 IR. Al combinarse con la ecuación (25.13), se
obtiene
(fuente ideal de fem) (25.14)
Es decir, cuando una carga positiva q fluye alrededor del circuito, el aumento de potencial
a medida que pasa a través de la fuente ideal es numéricamente igual a la
caída de potencial Vab 5 IR conforme pasa por el resto del circuito. Una vez que se
conocen y R, esta relación determina la corriente en el circuito.
CUIDADO La corriente no “se gasta” en un circuito Es un error común considerar
que en un circuito cerrado la corriente es algo que sale de la terminal positiva de una
batería y se consume o “se gasta” en el momento en que llega a la terminal negativa. De hecho,
la corriente es la misma en cualquier punto de una espira simple como la de la figura 25.15, aun
si el espesor de los alambres fuera diferente en distintos puntos del circuito. Esto pasa porque la
carga se conserva (es decir, no se crea ni se destruye) y porque no se puede acumular en los dis-
E
E
E 5 Vab 5 IR
Vab 5 E
qE 5 qVab ,
F S
n F S
e
F S
e ,
Wn 5 qE F S
n
F S
n
F S
n
F S
n F S
e .
F S
n .
F S
e 5 qE S .
E S
+
Fuente de
fem ideal
Va a
q
b
Vab 5 E
Vb
Terminal en el
potencial mayor
Terminal en el
potencial menor
ES
Fn
S
Fe 5 qE S S
Fuerza no
electrostática
que tiende a
trasladar la
carga al potencial
mayor.
Fuerza debida
al campo
eléctrico.
Cuando la fuente de fem no es parte de un
circuito cerrado, Fn 5 Fe y no hay movimiento
neto de carga entre las terminales.
25.14 Diagrama de una fuente de fem
en una situación de “circuito abierto”.
La fuerza del campo eléctrico
y la fuerza no electrostática se ilustran
actuando sobre una carga positiva q.
F S
n
F S
e 5 qE S
+
S
S
Cuando una
fuente real (opuesta
a la ideal) de fem se conecta a un circuito,
disminuye, Vab y por lo tanto Fe, de manera que,
Fn . Fe y Fn realiza un trabajo sobre las cargas.
ES
ES
ES
ES
S
Fuente de
fem ideal
Va a
b
Vab 5 E
Vb
Fn
Fe
El potencial a través de las terminales crea
un campo eléctrico en el circuito, lo que
hace que la carga se desplace.
I
I
I
25.15 Diagrama de una fuente ideal de
fem en un circuito completo. La fuerza
del campo eléctrico y la
fuerza no electrostática se ilustran
para una carga q positiva. La dirección
de la corriente es de a a b en el circuito
externo y de b a a en el interior de la fuente.
F S
n
F S
e 5 qE S
?
12.1 Circuitos de CD en serie (cualitativos)
O N L I N E
positivos del circuito que hemos descrito. Si la carga se acumulara, las diferencias de potencial
cambiarían con el tiempo. Es como el flujo de agua en una fuente de ornato; el agua brota de la
parte superior de la fuente al mismo ritmo con el que llega a la parte inferior, sin importar las dimensiones
de la fuente. ¡El agua no “se gasta” a lo largo del trayecto! ❚
Resistencia interna
Las fuentes reales de fem en un circuito no se comportan exactamente del modo descrito;
la diferencia de potencial a través de una fuente real en un circuito no es igual a
la fem como en la ecuación (25.14). La razón es que la carga en movimiento a través
del material de cualquier fuente real encuentra una resistencia, a la que llamamos resistencia
interna de la fuente, y se denota con r. Si esta resistencia se comporta de
acuerdo con la ley de Ohm, r es constante e independiente de la corriente I. Conforme
la corriente avanza a través de r, experimenta una caída de potencial asociada que es
igual a Ir. Así, cuando una corriente fluye a través de una fuente de la terminal negativa
b a la terminal positiva a, la diferencia de potencial Vab entre las terminales es
(voltaje terminal, fuente con (25.15) resistencia interna)
El potencial Vab, llamado voltaje terminal, es menor que la fem a causa del término
Ir que representa la caída de potencial a través de la resistencia interna r. Dicho de
otra manera, el aumento en la energía potencial qVab que se produce cuando una carga
q se traslada de b a a dentro de la fuente es ahora menor que el trabajo realizado
por la fuerza no electrostática ya que se pierde algo de energía potencial al
atravesar la resistencia interna.
Una batería de 1.5 V tiene una fem de 1.5 V, pero el voltaje terminal Vab de la batería
es igual a 1.5 V sólo si no hay corriente que fluya a través de ella, de manera que
en la ecuación (25.15) I 5 0. Si la batería es parte de un circuito completo a través del
cual fluye corriente, el voltaje terminal será menor de 1.5 V. Para una fuente real de
fem, el voltaje terminal es igual a la fem sólo si no hay corriente que fluya a través
de la fuente (figura 25.16). Así, el comportamiento de una fuente se puede describir
en términos de dos propiedades: una fem que suministra una diferencia de potencial
constante independiente de la corriente, en serie con una resistencia interna r.
La corriente en el circuito externo conectado a las terminales a y b de la fuente sigue
determinada por Vab 5 IR. Al combinar esto con la ecuación (25.15) se obtiene
o bien, (25.16)
Es decir, la corriente es igual a la fuente de fem dividida entre la resistencia total del
circuito (R 1 r).
CUIDADO Una batería no es una “fuente de corriente” Quizá piense que una batería
u otra fuente de fem siempre produce la misma corriente sin importar en cuál circuito se utilice.
Pero, como indica la ecuación (25.16), la corriente que produce una fuente de fem en un circuito
dado depende de la resistencia R del circuito externo (así como de la resistencia interna r de
la fuente). Cuanto mayor es la resistencia, menos corriente producirá la fuente. Es análogo
a empujar un objeto a través de un líquido espeso y viscoso como el aceite o la melaza; si se
ejerce cierto empuje sostenido (fem), es posible desplazar un objeto pequeño con gran rapidez
(R pequeña, I grande), o un objeto grande con lentitud (R grande, I pequeña). ❚
Símbolos para diagramas de circuito
Una parte importante del análisis de un circuito consiste en realizar el diagrama del
circuito. La tabla 25.4 muestra los símbolos usuales que se emplean en los diagramas
de circuito. En este capítulo y en el siguiente se usarán mucho estos símbolos. Por lo
general se supone que los alambres que conectan los diversos elementos del circuito
tienen una resistencia despreciable; de la ecuación (25.11), V 5 IR, la diferencia de
potencial entre los extremos de un alambre de este tipo es igual a cero.
(corriente, fuente con
resistencia interna)
I 5
E
R 1 r
E 2 Ir 5 IR
E,
F S
n ,
qE
E
Vab 5 E 2 Ir
25.16 La fem de esta batería —es
decir, el voltaje terminal cuando no
está conectada a nada— es de 12 V.
Pero como la batería tiene resistencia
interna, el voltaje terminal en ella es
menor que 12 V cuando suministra
corriente a una bombilla.
La tabla 25.4 incluye dos instrumentos que se usan para medir las propiedades de
los circuitos. Los medidores ideales no interfieren con el circuito al cual se conectan.
Un voltímetro, presentado en la sección 23.2, mide la diferencia de potencial entre
sus terminales; un voltímetro idealizado tiene una resistencia infinitamente grande y
mide la diferencia de potencial sin tener que desviar ninguna corriente a través él. Un
amperímetro mide la corriente que pasa a través de él; un amperímetro idealizado
tiene resistencia igual a cero y no hay diferencia de potencial entre sus terminales.
Como los medidores actúan como parte del circuito al que están conectados, es importante
recordar estas propiedades.
Tabla 25.4 Símbolos para diagramas de circuito
Conductor con resistencia despreciable.
Resistor.
Fuente de fem (la línea vertical más larga representa la terminal
positiva, por lo general aquélla con el mayor potencial).
Fuente de fem con resistencia interna r (la r se puede colocar en
cualquier lado).
Voltímetro (mide la diferencia de potencial entre sus terminales).
Amperímetro (mide la corriente que pasa a través suyo).
Ejemplo conceptual 25.5 Fuente en un circuito abierto
La figura 25.17 ilustra una fuente (batería) con fem de 12 V y resistencia
interna r de 2 V. (En comparación, la resistencia interna de una
batería comercial de plomo de 12 V es de sólo algunas milésimas de
ohm.) Los alambres a la izquierda de a y a la derecha del amperímetro
A no están conectados a nada. Determine las lecturas del voltímetro
ideal V y del amperímetro A, también ideal.
SOLUCIÓN
No hay corriente porque no hay un circuito completo. (No existe corriente
a través de nuestro voltímetro ideal, que tiene resistencia infinitamente
grande.) Por lo tanto, el amperímetro A da una lectura de I 5 0.
Como no hay corriente a través de la batería, no hay diferencia de
potencial a través de su resistencia interna. De la ecuación (25.15) con
I 5 0, la diferencia de potencial Vab a través de las terminales de la ba-
E
tería es igual a la fem. Por lo tanto, la lectura del voltímetro es
El voltaje terminal de una fuente real, no ideal,
es igual a la fem sólo si no hay corriente que fluya a través de la fuente,
como en este ejemplo.
Vab 5 E 5 12 V.
+
Vab
a b
A
r 5 2 V, E 5 12 V
V
25.17 Fuente de fem en un circuito abierto.
Ejemplo 25.6 Fuente en un circuito completo
En el ejemplo conceptual 25.5, se agrega un resistor de 4 V para formar
el circuito completo que se ilustra en la figura 25.18. ¿Cuáles son
ahora las lecturas del voltímetro y del amperímetro?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: La primera variable que se busca es la corriente I a través
del circuito aarbrb (igual a la lectura del amperímetro). La segunda
es la diferencia de potencial Vab (igual a la lectura del voltímetro).
PLANTEAR: Se calcula I mediante la ecuación (25.16). Para determinar
Vab se observa que éste se puede considerar como diferencia de potencial
a través de la fuente o como la diferencia de potencial alrededor
del circuito a través del resistor externo.
+
Vab 5 Vab
a b
A
a b
I r 5 2 V, E 5 12 V I
R 5 4 V
V
25.18 Fuente de fem en un circuito completo.
A
V
R
o bien
+
+
+
E
E
E
EJECUTAR: El amperímetro ideal tiene una resistencia igual a cero,
por lo que la resistencia externa a la fuente es R 5 4 V. De la ecuación
(25.16), la corriente a través del circuito aarbrb es
El amperímetro A da una lectura de I 5 2 A.
Nuestros alambres conductores ideales tienen una resistencia
igual a cero, y el amperímetro idealizado A también. Por lo tanto, no
hay diferencia de potencial entre los puntos a y ar o entre b y br; es
decir, Vab 5 Varbr. Podemos encontrar Vab considerando a y b como
las terminales del resistor o como las terminales de la fuente. Si las
I 5
E
R 1 r
5
12 V
4 V 1 2V
5 2 A
consideramos como las terminales del resistor, utilizamos la ley de
Ohm (V 5 IR):
Si las consideramos como las terminales de la fuente, tenemos que
De cualquier modo, se concluye que la lectura del voltímetro es Vab58 V.
EVALUAR: Con una corriente que fluye a través de la fuente, el voltaje
terminal Vab es menor que la fem. Cuanto menor sea la resistencia interna
r, menor será la diferencia entre Vab y E.
Vab 5 E 2 Ir 5 12 V 2 1 2 A2 1 2 V2 5 8 V
Varbr 5 IR 5 1 2 A2 1 4 V2 5 8 V
Ejemplo conceptual 25.7 Uso de voltímetros y amperímetros
El voltímetro y el amperímetro del ejemplo 25.6 ahora se colocan en
posiciones diferentes en el circuito. ¿Cuáles son las lecturas del voltímetro
y del amperímetro en las situaciones que se ilustran en a) la figura
25.19a y b) la figura 25.19b?
que el que está “corriente abajo” del resistor en la figura 25.18. Pero
esta conclusión se basa en el error de considerar que la corriente es algo
que “se gasta” a medida que avanza a través del resistor. Conforme
las cargas se desplazan por un resistor, hay una disminución en la energía
potencial eléctrica, pero la corriente no cambia. La corriente en
una espira simple es la misma en todos los puntos. Un amperímetro
colocado como el de la figura 25.19a da la misma lectura que el ubicado
como en la figura 25.18: I 5 2 A. ❚
b) Através del voltímetro no hay corriente porque éste tiene una resistencia
infinitamente grande. Como el voltímetro ahora forma parte
del circuito, no hay corriente en el circuito, por lo que la lectura del
amperímetro es I 5 0.
El voltímetro mide la diferencia de potencial Vbbr entre los puntos b
y br. Como I 5 0, la diferencia de potencial a través del resistor es Varbr
5 IR 5 0, y la que hay entre los extremos a y ar del amperímetro ideal
también es igual a cero. Por lo tanto, Vbbr es igual a Vab, el voltaje terminal
de la fuente. Como en el ejemplo conceptual 25.5, no hay corriente
que fluya, por lo que el voltaje terminal es igual a la fem, y la
lectura del voltímetro es
Este ejemplo ilustra que los amperímetros y voltímetros también
son elementos del circuito. Al mover el voltímetro de la posición que
tenía en la figura 25.19a a la de la figura 25.19b, cambian la corriente
y las diferencias de potencial en el circuito, en este caso, de forma considerable.
Si se quiere medir la diferencia de potencial entre dos puntos
de un circuito sin alterarlo, hay que usar un voltímetro como se ilustra
en la figura 25.18 o 25.19a, no como en la figura 25.19b.
Vab 5 E 5 12 V.
+ b +
V
a
A
a b
I I
a)
Vab
r 5 2 V, E 5 12 V
R 5 4 V
b
V
a
A
a b
b)
Vbb
r 5 2 V, E 5 12 V
R 5 4 V
25.19 Distintas ubicaciones de un voltímetro y un amperímetro
en un circuito completo.
SOLUCIÓN
a) El voltímetro ahora mide la diferencia de potencial entre los puntos
ar y br. Pero, como se dijo en el ejemplo 25.6, Vab 5 Varbr, por lo que el
voltímetro da la misma lectura que en el ejemplo 25.6; Varbr 5 8 V.
CUIDADO Corriente en una espira simple Tal vez usted se
sienta tentado a concluir que el amperímetro de la figura 25.19a, el cual
se localiza “corriente arriba” del resistor, arrojaría una lectura mayor
Ejemplo 25.8 Fuente con un cortocircuito
Utilizando la misma batería de los tres ejemplos anteriores, ahora se
sustituye el resistor de 4 V con un conductor cuya resistencia es igual a
cero. ¿Cuáles son las lecturas?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Las variables que se buscan son I y Vab, las mismas
que en el ejemplo 25.6. La única diferencia con ese ejemplo es que la
resistencia externa ahora es R 5 0.
PLANTEAR: La figura 25.20 ilustra el nuevo circuito. Ahora hay una
trayectoria con resistencia igual a cero entre los puntos a y b (a través
de la espira inferior en la figura 25.20). Por consiguiente, la diferencia
de potencial entre estos puntos debe ser igual a cero, lo que se
utiliza para resolver el problema.
25.20 Diagrama para este problema.
continúa
Cambios de potencial alrededor de un circuito
El cambio neto en la energía potencial para una carga q que hace un viaje redondo alrededor
de un circuito completo debe ser igual a cero. Por lo tanto, el cambio neto del
potencial alrededor del circuito también debe ser igual a cero; en otras palabras, la suma
algebraica de las diferencias de potencial y fems alrededor de la espira es igual a
cero. Esto se observa si se escribe la ecuación (25.16) en la forma
Una ganancia de potencial de está asociada con la fem, y caídas de potencial de Ir e
IR están asociadas con la resistencia interna de la fuente y el circuito externo, respectivamente.
La figura 25.21 es una gráfica que muestra la forma en que varía el potencial
conforme nos movemos alrededor del circuito completo de la figura 25.18. El eje
horizontal no necesariamente representa distancias reales, sino varios puntos de la espira.
Si se toma el potencial igual a cero en la terminal negativa de la batería, entonces
se tiene un aumento y una caída Ir en la batería, así como una caída adicional IR
en el resistor externo; al terminar el recorrido alrededor de la espira, el potencial es de
nuevo como al principio.
En esta sección sólo hemos considerado situaciones en las que las resistencias son
óhmicas. Si el circuito incluye un dispositivo no lineal como un diodo (véase la figura
25.10b), la ecuación (25.16) sigue siendo válida, pero no se puede resolver algebraicamente
porque R no es constante. En una situación como ésa, la corriente I se
calcula utilizando métodos numéricos (véase el problema de desafío 25.84).
Por último, haremos hincapié en que la ecuación (25.15) no siempre es una representación
adecuada del comportamiento de una fuente. La fem tal vez no sea constante,
y lo que hemos descrito como resistencia interna quizá sea una relación más
E
E
E 2 Ir 2 IR 5 0
+
O
V
12
V
12 V 2 V 2 A 4 V
Ir 5 4 V
IR 5 8 V
E 5 12 V
2 A
2 A 2 A
V
8
25.21 Aumentos y caídas de potencial en
un circuito.
misma corriente en todas las situaciones; la cantidad de corriente depende
de la resistencia interna r y de la resistencia del circuito externo.
La situación de este ejemplo se llama cortocircuito. Las terminales
de la batería están conectadas directamente una con la otra, sin una resistencia
externa. La corriente del cortocircuito es igual a la fem dividida
entre la resistencia interna r. Advertencia: un cortocircuito
puede representar una situación sumamente peligrosa. Una batería de
automóvil o una línea eléctrica doméstica tienen una resistencia interna
muy pequeña (mucho menor que las de estos ejemplos), y la corriente
del cortocircuito es suficientemente grande como para fundir un
alambre delgado o hacer que estalle una batería. ¡No lo intente!
E
EJECUTAR: Debemos tener Vab 5 IR 5 I(0) 5 0, sin importar cuál sea
la corriente. Al saber esto, podemos calcular la corriente I mediante la
ecuación (25.15):
La lectura del amperímetro es I 5 6 A, y la del voltímetro es Vab 5 0.
EVALUAR: La corriente tiene un valor distinto que la del ejemplo 25.6,
aun cuando se utiliza la misma batería. Una fuente no proporciona la
I 5
E
r
5
12 V
2 V
5 6 A
Vab 5 E 2 Ir 5 0
compleja entre el voltaje y la corriente que no siga la ley de Ohm. No obstante, es
frecuente que el concepto de resistencia interna proporcione una descripción adecuada
de las baterías, los generadores y otros convertidores de energía. La diferencia
principal entre una batería nueva de linterna y otra usada no es la fem, la cual disminuye
sólo un poco con el uso, sino la resistencia interna, que se incrementa de menos
de un ohm cuando la batería está nueva hasta 1000 V o más después de haberla usado
mucho. De manera similar, la batería de un automóvil puede proporcionar menos
corriente al motor de arranque en una mañana fría que cuando la batería está caliente,
no porque la fem sea apreciablemente menor, sino porque la resistencia interna
aumenta cuando la temperatura desciende. En los climas fríos, los habitantes toman
varias medidas para evitar esta pérdida, desde utilizar calentadores especiales para
el acumulador hasta remojar la batería con agua caliente en las mañanas muy frías.
Evalúe su comprensión de la sección 25.4 Clasifique los siguientes
circuitos, de la mayor corriente a la menor. i) Un resistor de 1.4 V conectado a una
batería de 1.5 V que tiene una resistencia interna de 0.10 V; ii) un resistor de 1.8 V conectado
a una batería de 4.0 V que tiene un voltaje terminal de 3.6 V y resistencia interna desconocida;
iii) un resistor desconocido conectado a una batería de 12.0 V con resistencia interna de
0.20 V y un voltaje terminal de 11.0 V.

25.5 Energía y potencia en circuitos eléctricos
Ahora estudiaremos algunas relaciones entre la energía y la potencia en los circuitos
eléctricos. La caja de la figura 25.22 representa un elemento de circuito con diferencia
de potencial Va 2 Vb 5 Vab entre sus terminales y la corriente I que pasa a través
suyo en dirección de a hacia b. Este elemento puede ser un resistor, una batería u otro;
los detalles no importan. Conforme la carga pasa por el elemento de circuito, el campo
eléctrico realiza trabajo sobre la carga. En una fuente de fem la fuerza , que se
mencionó en la sección 25.4, efectúa trabajo adicional.
Conforme una cantidad de carga q pasa a través del elemento de circuito, hay un
cambio en la energía potencial igual a qVab. Por ejemplo, si q . 0 y Vab 5 Va 2 Vb es
positiva, la energía potencial disminuye a medida que la carga “cae” del potencial Va
al potencial más bajo Vb. Las cargas en movimiento no ganan energía cinética porque
la tasa de flujo de carga (es decir, la corriente) que sale del elemento de circuito debe
ser igual que la tasa de flujo de carga que entra a éste. En vez de ello, la cantidad qVab
representa energía eléctrica transferida hacia el elemento de circuito. Esta situación
ocurre en las bobinas de un tostador o un horno eléctrico, en donde la energía eléctrica
se convierte en energía térmica.
Tal vez ocurra que el potencial en b sea mayor que en a. En este caso, Vab es negativa,
y hay una transferencia neta de energía hacia fuera del elemento de circuito.
Después, el elemento actúa como fuente proveyendo energía eléctrica al circuito en
que se encuentra. Ésta es la situación habitual para una batería, la cual convierte energía
química en eléctrica y la entrega al circuito externo. Así, qVab puede denotar una
cantidad de energía entregada a un elemento de circuito o una cantidad de energía que
se extrae de ese elemento.
En los circuitos eléctricos es más frecuente que interese la rapidez con la que la
energía se proporciona a un elemento de circuito o se extrae de él. Si la corriente a
través del elemento es I, entonces en un intervalo de tiempo dt pasa una cantidad
de carga dQ 5 I dt a través del elemento. El cambio en la energía potencial para esta
cantidad de carga es Vab dQ 5 Vab I dt. Si esta expresión se divide entre dt, se obtiene
la rapidez a la que se transfiere la energía hacia fuera o hacia dentro de circuito. La
relación de transferencia de energía por unidad de tiempo es la potencia, y se denota
mediante P; por lo tanto, escribimos
(rapidez con la que se entrega energía a un
elemento de circuito o se extrae de éste)
P 5 Vab I (25.17)
F S
n
I I
a b
Va Vb
Elemento
de circuito
25.22 La potencia de alimentación al
elemento de circuito entre a y b es
P 5 (Va 2 Vb) I 5 VabI.
+
+
+
+
Faro
S
S
S
• La fuente de fem convierte energía que no es
eléctrica en energía eléctrica, a una tasa de EI.
• Su resistencia interna disipa energía a una tasa
de I 2r.
• La diferencia EI 2 I 2r es su potencia de salida.
a) Diagrama del circuito
b) Circuito real del tipo que se ilustra en el
inciso a) de la figura
I I
a b
E, r
Fuente de fem
con resistencia interna r
a b
q
Circuito
interno
Fe
v
Fn
a b
I
I
a b
Batería
25.23 Conversión de la energía en un
circuito simple.
La unidad de Vab es un volt, o un joule por coulomb, y la unidad de I es un ampere,
o un coulomb por segundo. Entonces, la unidad de P 5 Vab I es un watt, como debe
ser:
Veamos algunos casos especiales.
Potencia en una resistencia pura
Si el elemento de circuito de la figura 25.22 es un resistor, la diferencia de potencial
es Vab 5 IR. De la ecuación (25.17), la potencia eléctrica entregada al resistor por el
circuito es
(potencia entregada a un resistor) (25.18)
En este caso, el potencial en a (donde entra la corriente al resistor) siempre es mayor
que el que hay en b (donde sale la corriente). La corriente entra por la terminal de mayor
potencial del dispositivo, y la ecuación (25.18) representa la tasa o rapidez de
transferencia de energía potencial eléctrica hacia el elemento de circuito.
¿Qué le ocurre a esta energía? Las cargas en movimiento colisionan con los átomos
en el resistor y transfieren algo de su energía a estos átomos, lo que incrementa la
energía interna del material. O bien la temperatura del resistor aumenta o hay un flujo
de calor hacia fuera de él, o ambas cosas. En cualquiera de estos casos se dice que la
energía se disipa en el resistor a una tasa de I 2R. Cada resistor tiene una potencia nominal,
que es la potencia máxima que el resistor es capaz de disipar sin que se sobrecaliente
o se dañe. En las aplicaciones prácticas, la potencia nominal de un resistor a
menudo es una característica tan importante como el valor de su resistencia. Por supuesto,
algunos dispositivos, como los calentadores eléctricos, están diseñados para
calentarse y transferir calor al ambiente. Pero si se excede la potencia nominal, incluso
esa clase de aparatos pueden fundirse y estallar.
Potencia de salida de una fuente
El rectángulo superior de la figura 25.23a representa una fuente con fem y resistencia
interna r, conectada por conductores ideales (sin resistencia) a un circuito externo
representado por el rectángulo inferior. Esto podría describir la batería de un automóvil
conectada a uno de los faros (figura 25.23b). El punto a está a un potencial mayor
que el b, por lo que Va . Vb, y Vab es positiva. Observe que la corriente I sale de la
fuente por la terminal de mayor potencial (en vez de entrar por ahí). Se provee energía
al circuito externo, y la rapidez con la que se entrega al circuito está dada por la
ecuación (25.17):
Para una fuente que puede describirse por una fem y resistencia interna r, se usa la
ecuación (25.15):
Si se multiplica esta ecuación por I, se obtiene
(25.19)
¿Qué significan los términos e I 2r ? En la sección 25.4 se definió la fem como
el trabajo por unidad de carga que la fuerza no electrostática realiza sobre las cargas
cuando éstas son empujadas “cuesta arriba” de b hacia a en la fuente. En el tiempo dt,
fluye una carga dQ 5 I dt a través de la fuente; el trabajo realizado sobre ella por esta
fuerza no electrostática es Así, es la tasa a la que realiza trabajo sobre
las cargas en circulación cualquier agente que ocasione la fuerza no electrostática
en la fuente. Este término representa la rapidez de conversión de la energía no eléctrica
en eléctrica dentro de la fuente. El término I 2r es la tasa a la que se disipa energía
E dQ 5 EI dt. EI
EI E
P 5 Vab I 5 E I 2 I 2r
Vab 5 E 2 Ir
E
P 5 Vab I
E
P 5 Vab I 5 I 2R5
Vab
2
R
1 1 J/C2 1 1 C/s 2 5 1 J/s 5 1 W
eléctrica en la resistencia interna de la fuente. La diferencia es la potencia
eléctrica neta de salida de la fuente, es decir, la rapidez a la que la fuente entrega
energía eléctrica al resto del circuito.
Potencia de entrada a una fuente
Suponga que el rectángulo inferior de la figura 25.23a es una fuente, con una fem mayor
que la de la fuente superior y opuesta a ella. La figura 25.4 muestra un ejemplo
práctico: el proceso de carga de una batería de automóvil (el elemento de circuito superior)
por el alternador del vehículo (el elemento inferior). La corriente I en el circuito
es opuesta a la de la figura 25.23; la fuente inferior empuja corriente de regreso
hacia la fuente superior. En virtud de esta inversión de la corriente, en vez de la ecuación
(25.15), para la fuente superior se tiene
y en vez de la ecuación (25.19), tenemos
(25.20)
En vez de que el agente que genera la fuerza no electrostática de la fuente superior
realice trabajo, se está realizando trabajo sobre el agente. En la fuente superior hay
energía eléctrica que se convierte en energía no eléctrica a una tasa de El término
I 2r en la ecuación (25.20) es, de nuevo, la tasa de disipación de energía en la resistencia
interna de la fuente superior, y la suma es la potencia eléctrica total de
alimentación a la fuente superior. Esto es lo que pasa cuando se conecta una batería
recargable (de almacenamiento) a un cargador. El cargador suministra energía eléctrica
a la batería; parte de esta energía se convierte en energía química que se reconvierte
después, y el resto se disipa (se pierde) en la resistencia interna de la batería, la
calienta y origina un flujo de calor hacia fuera. Si usted tiene algún aparato o computadora
portátil con batería recargable, tal vez haya notado que se calienta mientras se
está cargando.
EI 1 I 2r
EI.
P 5 Vab
I 5 EI 1 I 2R
Vab 5 E 1 Ir
EI 2 I 2r
+ –
a b
Batería
(fem pequeña)
a + – b
I I
Alternador
(fem grande)
q
Fe
S
vr
Fn
S
25.24 Cuando se conectan dos fuentes
en una espira simple, la fuente con mayor
fem entrega energía a la otra fuente.
Estrategia para resolver problemas 25.1 Potencia y energía en los circuitos
IDENTIFICAR los conceptos relevantes:
Los conceptos de potencia eléctrica de alimentación y salida son aplicables
a cualquier circuito eléctrico. En la mayoría de los casos se sabrá
cuándo se necesitan estos conceptos porque el problema pedirá en
forma explícita que se considere potencia o energía.
PLANTEAR el problema según los siguientes pasos:
1. Elabore un dibujo del circuito.
2. Identifique los elementos de circuito, incluyendo las fuerzas fem y
los resistores. En capítulos posteriores se agregarán otros elementos
de circuitos, como capacitores e inductores (que se estudian en
el capítulo 30).
3. Determine las variables que se buscan. Lo común es que sean la
potencia de alimentación o de salida para cada elemento de circuito,
o la cantidad total de energía que entra o sale de un elemento de
circuito en un tiempo dado.
EJECUTAR la solución como sigue:
1. Una fuente de fem entrega potencia a un circuito cuando
la corriente I pasa a través de la fuente de 2 a 1. La conversión
de energía se realiza a partir de energía química en una batería, de
energía mecánica a partir de un generador, etcétera. En este caso,
la fuente tiene una potencia de salida positiva hacia el circuito,
o, de manera equivalente, una potencia de alimentación negativa
a la fuente.
2. Una fuente de fem toma potencia de un circuito —es decir, tiene
una potencia de salida negativa o, en forma equivalente, una potencia
de alimentación positiva— cuando pasa corriente a través de la
EI
E EI
fuente en dirección de 1 a 2. Esto ocurre cuando se carga una batería
de almacenamiento, es decir, cuando la energía eléctrica se
convierte de nuevo en energía química. En este caso, la fuente tiene
una potencia de salida negativa hacia el circuito o, de manera equivalente,
una potencia de alimentación positiva a la fuente.
3. Sin importar la dirección de la corriente a través de un resistor,
siempre hay una potencia de alimentación positiva al resistor.
Éste extrae energía del circuito a una tasa dada por la expresión
VI 5 I 2R 5 V2>R, donde V es la diferencia de potencial a través
del resistor.
4. También hay una potencia de alimentación positiva a la resistencia
interna r de una fuente, sin que importe la dirección de la corriente.
La resistencia interna siempre retira energía del circuito y la convierte
en calor a una tasa de I 2r.
5. Se necesita calcular el total de energía que se entrega o se extrae de
un elemento de circuito en una cantidad dada de tiempo. Si la potencia
que entra a un elemento de circuito o que sale de él es constante,
esta integral es simplemente el producto de la potencia por el
tiempo transcurrido. (En el capítulo 26 encontraremos situaciones
en las que la potencia no es constante. En tales casos, se requiere
una integral para calcular la energía total.)
EVALUAR la respuesta: Compruebe los resultados y no olvide verificar
que la energía se conserva. Esta conservación se expresa en cualquiera
de dos formas posibles: “potencia de alimentación neta 5 potencia
de salida neta”, o “la suma algebraica de las potencia de
alimentación a los elementos de circuito es igual a cero”.
Ejemplo 25.9 Potencias de alimentación y salida en un circuito completo
Para la situación que se analizó en el ejemplo 25.6, calcule la tasa
de conversión de energía (química o eléctrica) y la tasa de disipación de
energía en la batería, así como la potencia neta de salida de la batería.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Las variables que se buscan son la potencia de salida
de la fuente de fem, la potencia de alimentación a la resistencia interna
y la potencia neta de salida de la fuente.
PLANTEAR: La figura 25.25 representa el circuito. Se utiliza la ecuación
(25.17) para encontrar la potencia de alimentación o de salida de
un elemento de circuito, y la ecuación (25.19) para la potencia neta
de salida de la fuente.
EJECUTAR: Del ejemplo 25.6, la corriente en el circuito es I 5 2 A.
La tasa de conversión de energía en la batería es
La tasa de disipación de energía en la batería es
La potencia eléctrica de salida de la fuente es la diferencia entre
EVALUAR: La potencia de salida también está dada por el voltaje terminal
Vab 5 8 V (calculado en el ejemplo 25.6) multiplicado por la
corriente:
La potencia eléctrica de alimentación al resistor es
Esto es igual a la tasa de disipación de energía eléctrica en el resistor:
Observe que nuestros resultados concuerdan con la ecuación (25.19),
que establece que el lado izquierdo de esta ecuación
es igual a 16 W, y el derecho es igual a 24 W 2 8 W 5 16 W. Esto
comprueba la congruencia de las diversas cantidades de potencia.
Vab I 5 EI 2 I 2R;
I 2R 5 1 2 A 2 2 1 4 V2 5 16 W
Varbr I 5 1 8 V2 1 2 A2 5 16 W
Vab I 5 1 8 V2 1 2 A2 5 16 W
EI 2 I 2r5 16 W.
I 2r 5 1 2 A 2 2 1 2 V2 5 8 W
EI 5 1 12 V2 1 2 A2 5 24 W
25.25 Diagrama para este problema.
Ejemplo 25.10 Aumento de la resistencia
Suponga que el resistor de 4 V de la figura 25.25 se sustituye por otro
de 8 V. ¿Cómo afecta esto la potencia eléctrica disipada en el resistor?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: La variable que se busca es la potencia disipada en el
resistor al que está conectada la fuente de fem.
PLANTEAR: La situación es la misma que la del ejemplo 25.9, pero
con un valor diferente de la resistencia externa R.
EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (25.18), la potencia disipada
en el resistor está dada por P 5 I 2R. Si usted tuviera prisa, tal vez concluiría
que como R ahora tiene el doble del valor que tenía en el ejemplo
25.9, la potencia también se duplicaría y sería 2(16 W) 5 32 W.
O tal vez trataría de usar la fórmula esta fórmula lo llevaría
a concluir que la potencia debería ser la mitad de la del ejemplo
anterior, es decir, (16 W)>2 5 8 W. ¿Cuál respuesta es la correcta?
En realidad, ambas respuestas son incorrectas. La primera porque
al cambiar la resistencia R, también cambia la corriente en el circuito
(recuerde, una fuente de fem no genera la misma corriente en todas las
situaciones). La segunda conclusión también es incorrecta porque la
diferencia de potencial Vab a través del resistor cambia cuando la corriente
cambia. Para conocer la respuesta correcta, primero se usa la
misma técnica que en el ejemplo 25.6 para obtener la corriente:
I 5
E
R 1 r
5
12 V
8 V 1 2 V
5 1.2 A
P 5 Vab
2 /R;
La mayor resistencia hace que la corriente disminuya. La diferencia de
potencial a través del resistor es
que es mayor que con el resistor de 4 V. Después, se calcula la potencia
disipada en el resistor en cualquiera de dos formas:
EVALUAR: El incremento de la resistencia R ocasiona una reducción
en la potencia de alimentación al resistor. En la expresión P 5 I 2R es
más importante la disminución de la corriente que el aumento de la
resistencia; en la expresión tiene mayor importancia el
aumento en la resistencia que el aumento de Vab. Este mismo principio
se aplica a las bombillas eléctricas comunes; una bombilla de 50 W
tiene más resistencia que una de 100 W.
¿Podría demostrar que si se sustituye el resistor de 4 V por otro
de 8 V, disminuyen tanto la tasa de conversión de energía (química
a eléctrica) en la batería como la tasa de disipación de energía en la
batería?
P 5 Vab
2 /R
P 5
Vab
2
R
5
1 9.6 V2 2
8 V
5 12 W
P 5 I 2R5 1 1.2 A 2 2 1 8 V2 5 12 W o bien,
Vab 5 IR 5 1 1.2 A2 1 8 V2 5 9.6 V
Ejemplo 25.11 Potencia en un cortocircuito
Para el circuito que se analizó en el ejemplo 25.8, calcule las tasas de
conversión de energía y disipación de energía en la batería, así como la
potencia de salida neta de la batería.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Las variables buscadas son otra vez las potencias de
entrada y salida asociadas con la batería.
PLANTEAR: La figura 25.26 muestra el circuito. Ésta es la misma situación
que la del ejemplo 25.9, pero ahora la resistencia externa R es
igual a cero.
EJECUTAR: En el ejemplo 25.8 se calculó que en esta situación la corriente
es I 5 6 A. La tasa de conversión de energía (química a eléctrica)
en la batería es
La tasa de disipación de energía en la batería es
La potencia de salida neta de la fuente, dada por Vab I, es igual a cero
porque el voltaje terminal Vab es cero.
I 2r 5 1 6 A 2 2 1 2 V2 5 72 W
EI 5 1 12 V2 1 6 A2 5 72 W EVALUAR: Con alambres ideales y un amperímetro ideal, de manera
que R 5 0, se disipa toda la energía convertida dentro de la fuente. Por
eso, una batería en cortocircuito se arruina con rapidez y, en ciertos casos,
llega a estallar.
25.26 El diagrama para este problema es el siguiente:
Evalúe su comprensión de la sección 25.5 Ordene los siguientes
circuitos en orden decreciente de sus valores de potencia de salida neta de la batería.
i) Un resistor de 1.4 V conectado a una batería de 1.5 V que tiene una resistencia interna de
0.10 V; ii) un resistor de 1.8 V conectado a una batería de 4.0 V con voltaje terminal de 3.6 V
y resistencia interna desconocida; iii) un resistor desconocido conectado a una batería de
12.0 V con resistencia interna de 0.20 V y voltaje terminal de 11.0 V.

*25.6 Teoría de la conducción metálica
Podemos comprender mejor el fenómeno de la conducción eléctrica examinando el
origen microscópico de la conductividad. Consideremos un modelo muy sencillo que
trata los electrones como partículas clásicas e ignora su comportamiento ondulatorio
en los sólidos según los postulados de la mecánica cuántica. Con este modelo, obtendremos
una expresión para la resistividad de un metal. Aun cuando este modelo no
es del todo correcto en términos conceptuales, sirve para desarrollar una idea intuitiva
de las bases microscópicas de la conducción.
En el modelo microscópico más sencillo de la conducción en un metal, cada átomo
del cristal metálico cede uno o más de sus electrones externos. Luego, estos electrones
quedan en libertad para moverse a través del cristal y colisionan a intervalos
con los iones estacionarios positivos. El movimiento de los electrones es análogo al
de las moléculas de un gas que se trasladan a través de un lecho poroso de arena, por
lo que es frecuente referirse a ellos como “gas de electrones”.
Si no hay campo eléctrico, los electrones se mueven en línea recta entre las colisiones,
las direcciones de sus velocidades son aleatorias y, en promedio, nunca llegan
a ninguna parte (figura 22.27a). Pero si está presente un campo eléctrico, las trayectorias
se curvan ligeramente en virtud de la aceleración causada por las fuerzas del
campo eléctrico. La figura 25.27b ilustra algunas trayectorias de un electrón en un campo
eléctrico dirigido de derecha a izquierda. Como se dijo en la sección 25.1, la rapidez
media del movimiento aleatorio es del orden de 106 m>s, mientras que la rapidez
media de deriva es mucho más baja, del orden de 1024 m>s. El tiempo medio entre las
colisiones se denomina tiempo libre medio, y se denota con t. La figura 25.28 muestra
una analogía mecánica de este movimiento de electrones.
A partir de este modelo se obtendrá una expresión para la resistividad r de un material,
definido por la ecuación (25.5):
(25.21)
donde E y J son las magnitudes del campo eléctrico y la densidad de corriente.
La densidad de corriente a su vez está dada por la ecuación (25.4):
(25.22)
donde n es el número de electrones libres por unidad de volumen, q es la carga de cada
uno, y es su velocidad media de deriva. (También sabemos que en un metal ordinario
q52e; esto se usará más adelante.)
Es necesario relacionar la velocidad de deriva con el campo eléctrico El valor
de está determinado por una condición de estado estable (estacionario) en la que,
en promedio, las ganancias de velocidad de las cargas debidas a la fuerza del campo
se equilibran exactamente con las pérdidas de velocidad debidas a las colisiones.
Para aclarar este proceso, imaginemos que se ponen en marcha los dos efectos,
uno a la vez. Suponga que antes del momento t 5 0 no existe un campo. De esta forma,
el movimiento de los electrones es completamente al azar. Un electrón común
tiene velocidad en el momento t 5 0, y el valor de promediado con respecto a muchos
electrones (es decir, la velocidad inicial de un electrón promedio) es igual a cero:
( )prom 5 0. Así, en el momento t 5 0, activamos un campo eléctrico constante
El campo ejerce una fuerza sobre cada carga, lo que ocasiona una aceleración
en dirección de la fuerza que está dada por
donde m es la masa del electrón. Todos los electrones tienen esta aceleración.
Esperamos un tiempo t, el tiempo medio entre colisiones, y en seguida “ponemos
en marcha” las colisiones. Un electrón que en el tiempo t 5 0 tiene velocidad , en el
tiempo t tendrá una velocidad igual a
vS 5 vS
0 1 aS
t
vS
0
aS
5
F S
m
5
qE S
m
aS
F S
5 qE S
E S
Sv .
0
vS
v 0 S
0
E S
vS
d
E S
Sv .
d
vS
d
J S
5 nqvS
d
J S
r 5
E
J
25.28 El movimiento de una pelota que
rueda por un plano inclinado y rebota en
las estacas que encuentra en su camino es
análogo al movimiento de un electrón en
un conductor metálico con un campo
eléctrico presente.
a) Trayectoria normal de un electrón en
un cristal metálico sin campo interno E
Desplazamiento
neto
Colisión
con el cristal
S b) Trayectoria normal de un electrón en un
cristal metálico con un campo interno E
S
E
S
E
S
E
S
25.27 Movimientos aleatorios de
un electrón en un cristal metálico
a) con un campo eléctrico igual a cero,
y b) con un campo eléctrico que provoca
deriva. Las curvaturas de las trayectorias
se han exagerado mucho.
La velocidad de un electrón promedio en ese momento es la suma de los promedios
de los dos términos de la derecha. Como se dijo, la velocidad inicial es igual
a cero para un electrón promedio, por lo que
(25.23)
Después del tiempo t 5 t, la tendencia de las colisiones a disminuir la velocidad
de un electrón promedio (con las colisiones aleatorias) equilibra con exactitud la
tendencia del campo a incrementar su velocidad. Así, la velocidad de un electrón
promedio, dada por la ecuación (25.23), se mantiene con el tiempo y es igual a la
velocidad de deriva
Ahora, se sustituye esta ecuación para la velocidad de deriva en la ecuación
(25.22):
Al comparar esta ecuación con la ecuación (25.21), que puede rescribirse como
y al sustituir q52e, se observa que la resistividad r está dada por
(25.24)
Si n y t son independientes de entonces la resistividad es independiente de y
el material conductor obedece la ley de Ohm.
Quizá parezca artificial iniciar las interacciones una a la vez, pero el resultado sería
el mismo si cada electrón tuviera su propio reloj y los tiempos t 5 0 fueran diferentes
para distintos electrones. Si t es el tiempo medio entre las colisiones, entonces
aún es la velocidad media de deriva de los electrones, aun cuando los movimientos
de éstos no estén correlacionados en realidad en la manera en que se postuló.
¿Qué pasa con la dependencia que tiene la resistividad con respecto a la temperatura?
En un cristal perfecto sin átomos fuera de su lugar, un análisis cuántico correcto
supondría que los electrones libres se mueven a través del cristal sin ninguna
colisión. Pero los átomos vibran en torno a sus posiciones de equilibrio. Conforme la
temperatura se incrementa, las amplitudes de esas vibraciones aumentan, las colisiones
se hacen más frecuentes y el tiempo libre medio t disminuye. Por lo tanto, esta
teoría predice que la resistividad de un metal aumenta con la temperatura. En general,
en un superconductor no hay colisiones inelásticas, t es infinito y la resistividad
r es igual a cero.
En un semiconductor puro como el silicio o el germanio, el número de portadores
de carga por unidad de volumen, n, no es constante, sino que incrementa con mucha
rapidez al aumentar la temperatura. Este aumento de n supera con creces la reducción
del tiempo libre medio, y en un semiconductor la resistividad siempre decrece con rapidez
al aumentar la temperatura. A temperaturas bajas, n es muy pequeña, y la resistividad
se hace tan grande que el material se considera aislante.
Los electrones ganan energía entre las colisiones en virtud del trabajo que el campo
eléctrico realiza sobre ellos. Durante las colisiones, transfieren algo de esta energía
a los átomos del material del conductor. Esto lleva a un aumento de la energía interna
y la temperatura del material; ésa es la razón por la que los alambres que conducen
corriente se calientan. Si el campo eléctrico en el material es suficientemente grande,
un electrón puede ganar energía suficiente entre las colisiones para desprender electrones
que normalmente están ligados a los átomos del material. Después, los electrones
así lanzados pueden desprender a la vez otros electrones, y así sucesivamente, lo
que posiblemente desate una avalancha de corriente. Ésta es la base microscópica de
la ruptura del dieléctrico en los aislantes.
vS
d
E S
E S
,
r 5
m
ne2t
J S
5 E S /r,
J S
5 nqvS
d 5
nq2t
m E S
vS
d
vS
d 5
qt
m E S
vS
d :
E S
vS
med 5 aS
t 5
qt
m E S
vS
0
vS
med
Evalúe su comprensión de la sección 25.6 ¿Cuál de los siguientes factores, al
incrementarse, hará que sea más difícil producir cierta cantidad de corriente en un conductor?
(Puede haber más de una respuesta correcta.) i) La masa de las partículas con carga en
movimiento en el conductor; ii) el número de las partículas con carga en movimiento
por metro cúbico; iii) la cantidad de carga en cada partícula en movimiento; iv) el tiempo
medio entre las colisiones para una partícula cualquiera con carga y en movimiento.

Ejemplo 25.12 Tiempo libre medio en el cobre
Calcule el tiempo libre medio entre las colisiones en el cobre a temperatura
ambiente.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Este problema se basa en las ideas desarrolladas en esta
sección.
PLANTEAR: Es posible encontrar una expresión para el tiempo libre
medio t en términos de n, r, e y m, si se reacomoda la ecuación
(25.24). Del ejemplo 25.1 y la tabla 25.1, se sabe que para el cobre n 5
8.5 3 1028 m23 y r 5 1.72 3 Asimismo, e 5 1.60 3
10219 C y m 5 9.11 3 10231 kg para los electrones.
1028 V # m.
EJECUTAR: De la ecuación (25.24) se obtiene
EVALUAR: Al tomar el recíproco de este tiempo, se encuentra que cada
electrón experimenta en promedio ¡alrededor de 4 3 1013 colisiones
cada segundo!
5 2.4 3 10214 s
5
9.11 3 10231 kg
1 8.5 3 1028 m23 2 1 1.60 3 10219 C 2 2 1 1.72 3 1028 V # m2
t 5
m
ne2r
871
+
+ +
+
+
+
E
S
vd
S vd
S
vd
S vd
S
vd
S vd
S
Corriente y densidad de corriente: Corriente es la cantidad I
de carga que fluye a través de un área especificada, por
unidad de tiempo. La unidad del SI para la corriente es el
ampere, que es igual a un coulomb por segundo (1 A5 1 C>s).
La corriente I a través de un área A depende de la concentración
n y la carga q de los portadores de carga, así como
de la magnitud de su velocidad de deriva La densidad de
corriente es corriente por unidad de área de la sección
transversal. La corriente se describe convencionalmente
en términos de un flujo de carga positiva, aun cuando los
portadores de carga real sean negativos o de ambos signos.
(Véase el ejemplo 25.1.)
vS
d .
Resistividad: La resistividad r de un material es la razón
de las magnitudes del campo eléctrico y la densidad de
corriente. Los buenos conductores tienen poca resistividad;
los buenos aislantes tienen alta resistividad. La ley de Ohm,
que obedecen en forma aproximada muchos materiales, establece
que r es una constante independiente del valor de E.
La resistividad por lo general se incrementa con la temperatura;
para cambios pequeños de temperatura, esta variación
queda representada aproximadamente por la ecuación (25.6),
donde a es el coeficiente de temperatura de la resistividad.
(25.5)
r 1 T 2 5 r0 (25.6) 31 1 a1 T 2 T0 2 4
r 5
E
J
Resistores: Para los materiales que obedecen la ley de
Ohm, la diferencia de potencial V a través de una muestra
particular de material es proporcional a la corriente I a
través del material. La razón V>I 5 R es la resistencia de
la muestra. La unidad del SI para la resistencia es el ohm
(1 V51 V>A). La resistencia de un conductor cilíndrico
se relaciona con su resistividad r, longitud L y área de sección
transversal A. (Véanse los ejemplos 25.2 a 25.4.)
(25.11)
R 5 (25.10)
rL
A
V 5 IR
O
T
Metal: r aumenta con
el incremento de T
T0
r
r0 Pendiente 5 r0a
I
L
I V A
Potencial
más alto
Potencial
más bajo
J
E S
S
+
Vab 5 Vab
b
V
a
A
a b
I r 5 2 V, E 5 12 V I
R 5 4 V
Circuitos y fem: Un circuito completo tiene una trayectoria
continua por la que circula corriente. Un circuito completo
que lleva una corriente constante debe contener una fuente
de fuerza electromotriz (fem) La unidad del SI para la
fuerza electromotriz es el volt (1 V). Una fuente ideal de
fem mantiene una diferencia de potencial constante, independiente
de la corriente que pasa a través del dispositivo,
pero toda fuente real de fem tiene alguna resistencia interna r.
Por consiguiente, la diferencia de potencial terminal Vab
depende de la corriente. (Véanse los ejemplos 25.5 a 25.8.)
E.
(25.15)
(fuente con resistencia interna)
Vab 5 E 2 Ir
Energía y potencia en los circuitos: Un elemento de
circuito con diferencia de potencial Va 2 Vb 5 Vab y
corriente I introduce energía al circuito si la dirección
de la corriente es del potencial más bajo al más alto en
el dispositivo, y extrae energía del circuito si la corriente
es la opuesta. La potencia P (tasa de transferencia de
energía) es igual al producto de la diferencia de potencial
por la corriente. Un resistor siempre extrae energía
eléctrica del circuito. (Véanse los ejemplos 25.9 a 25.11.)
(25.17)
(elemento general de circuito)
(25.18)
(potencia que entra en un resistor)
P 5 Vab I 5I 2R 5
Vab
2
R
P 5 Vab I
I I
a b
Va Vb
Elemento
de circuito
CAPÍTULO 25 RESUMEN
(25.2)
(25.4) J S
5 nqvS
d
I 5
dQ
dt
5 n 0 q 0 vd A
Conducción en los metales: La base microscópica de la conducción en los metales es el movimiento de
los electrones que se desplazan con libertad por el cristal metálico, chocando con los centros iónicos
del cristal. En un modelo clásico aproximado de este movimiento, la resistividad del material se relaciona
con la masa del electrón, la carga, la rapidez de movimiento aleatorio, la densidad y el tiempo libre
medio entre las colisiones. (Véase el ejemplo 25.12.)
Desplazamiento
neto
E
S
Términos clave
corriente, 847
velocidad de deriva, 847
corriente convencional, 848
ampere, 848
concentración, 848
densidad de corriente, 849
ley de Ohm, 850
resistividad, 851
conductividad, 851
coeficiente de temperatura de la resistividad, 852
resistencia, 853
ohm, 854
resistor, 854
circuito completo, 857
fuerza electromotriz (fem), 857
fuente de fem, 857
resistencia interna, 859
voltaje terminal, 859
voltímetro, 860
amperímetro, 860
tiempo libre medio, 868
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo ?
La corriente que sale es igual a la corriente que entra. En otras palabras,
la carga debe entrar a la bombilla con la misma rapidez con la
que sale. Conforme fluye por la bombilla no “se gasta” ni se consume.
Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión
25.1 Respuesta: v) Al duplicarse el diámetro se incrementa el área
de la sección transversal A en un factor de 4. Por lo tanto, la magnitud
de la densidad de corriente J 5 I>A se reduce a del valor del
ejemplo 25.1, y la magnitud de la velocidad de deriva
se reduce en el mismo factor. La nueva magnitud es vd 5 (0.15 mm>s)>
4 5 0.038 mm>s. Este comportamiento es el mismo que el de un fluido
incompresible, que disminuye cuando pasa de un tubo estrecho a
otro más ancho (véase la sección 14.4).
25.2 Respuesta: ii) La figura 25.6b indica que la resistividad r de un
semiconductor se incrementa conforme disminuye la temperatura. De
la ecuación (25.5), la magnitud de la densidad de corriente es J 5 E>r,
por lo que la densidad de corriente disminuye a medida que la temperatura
se reduce y la resistividad aumenta.
25.3 Respuesta: iii) La solución de la ecuación (25.11) para la corriente
indica que I 5 V>R. Si la resistencia R del alambre permanece
sin cambio, la duplicación del voltaje V haría que la corriente I también
se duplicara. Sin embargo, en el ejemplo 25.3 se vio que la resistencia
no es constante: a medida que la corriente aumenta y la
temperatura se eleva, R también aumenta. Así que la duplicación del
voltaje produce una corriente menor que el doble de la corriente original.
Un conductor óhmico es aquél para el que R 5 V>I tiene el mismo
vd 5 J/n 0 q 0
14
valor sin importar cuál sea el voltaje; así pues, el alambre es no óhmico.
(En muchos problemas prácticos, el cambio de temperatura del
alambre es tan pequeño que se ignora, por lo que se puede considerar
sin problema que el alambre es óhmico. En casi todos los ejemplos del
libro se hace así.)
25.4 Respuestas: iii), ii), i) Para el circuito i), se calcula la corriente
con la ecuación (25.16): I 5 E>(R 1 r) 5 (1.5 V)>(1.4 V10.10 V) 5
1.0 A. Para el circuito ii), se observa que el voltaje terminal Vab 5 3.6 V
es igual al voltaje IR a través del resistor de 1.8 V: Vab 5 IR, por lo que
I 5 Vab>R 5 (3.6 V)>(1.8 V) 5 2.0 A. Para el circuito iii), se utiliza la
ecuación (25.15) para determinar el voltaje terminal: Vab 5 E 2 Ir, por
lo que I 5 (E 2 Vab)>r 5 (12.0 V 2 11.0 V)>(0.20 V) 5 5.0 A.
25.5 Respuestas: iii), ii), i) Éstos son los mismos circuitos que se
analizaron en Evalúe su comprensión de la sección 25.4. En cada caso,
la potencia neta de salida de la batería es P 5 Vab I, donde Vab es el voltaje
terminal de la batería. Para el circuito i), se vio que I 5 1.0 A, por
lo que de manera
que P 5 (1.4 V) (1.0 A) 5 1.4 W. Para el circuito ii), se tiene
que Vab 5 3.6 V y se encontró que I 5 2.0 A, por lo que P 5 (3.6 V)
(2.0 A) 5 7.2 W. Para el circuito iii), se tiene que Vab 5 11.0 V y se
determinó que I 5 5.0 A, así que P 5 (11.0 V) (5.0 A) 5 55 A.
25.6 Respuesta: i) La dificultad de producir cierta cantidad de corriente
se incrementa conforme aumenta la resistividad r. De la ecuación
(25.24), r 5 m>ne2t, por lo que al aumentar la masa m se
incrementará la resistividad. Esto es así porque una partícula más masiva
con carga responderá con más lentitud ante la aplicación de un
campo eléctrico, por lo que la deriva será más lenta. Para generar la
misma corriente se necesitaría un campo eléctrico más intenso. (El aumento
de n, e o t haría que la resistividad disminuyera y sería más fácil
producir una corriente dada.)
Vab 5 E 2 Ir 5 1.5 V 2 1 1.0 A2 1 0.10 V2 5 1.4 V,
PROBLEMAS Para las tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com
Preguntas para análisis
P25.1. La definición de resistividad (r 5 E>J) implica que existe un
campo eléctrico dentro de un conductor. Pero en el capítulo 21 se vio
que en el interior de un conductor no puede haber ningún campo eléctrico.
¿Hay alguna contradicción en esto? Dé una explicación.
P25.2. Una varilla cilíndrica tiene resistencia R. Si se triplica su longitud
y diámetro, ¿cuál será su resistencia en términos de R?
+ +
Bombilla A Bombilla B Bombilla A
a) E b) E
Figura 25.30 Pregunta P25.14.
+ +
Bombilla
a) b)
A A
Bombilla
E E
Figura 25.31 Pregunta P25.15.
+ +
Bombilla
a) b)
A V
Bombilla
E E
Figura 25.32 Pregunta P25.16.
la figura 25.30a, las dos bombillas A y B son idénticas. En comparación
con la bombilla A, ¿la bombilla B brilla más, igual o menos? Explique
su razonamiento. b) Se retira la bombilla B del circuito y éste
se completa como se ilustra en la figura 25.30b. En comparación con
el brillo de la bombilla A en la figura 25.30a, ¿ahora la bombilla A
brilla más, igual o menos? Explique su razonamiento.
P25.15. (Véase la pregunta para análisis P25.14.) En un circuito se colocan
un amperímetro ideal A, una batería y una bombilla, como se
ilustra en la figura 25.31a, y se anota la lectura del amperímetro. Después,
el circuito se vuelve a conectar como en la figura 23.31b, de manera
que las posiciones del amperímetro y la bombilla se invierten.
a) ¿Cómo se compara la lectura del amperímetro en la situación que
se ilustra en la figura 25.31a con la de la figura 25.31b? Explique su
razonamiento. b) ¿En qué situación brilla más la bombilla? Explique
su razonamiento.
P25.16. (Véase la pregunta para análisis P25.14.) ¿Brillará más una
bombilla cuando se conecta a una batería como se ilustra en la figura
25.32a, con un amperímetro ideal A colocado en el circuito, o cuando
se conecta como se representa en la figura 25.32b, con un voltímetro
ideal V colocado en el circuito? Explique su razonamiento.
a) b) c) d)
I
V
O
I
V
O
I
V
O
I
V
O
Figura 25.29 Pregunta P25.12.
P25.17. La energía que puede extraerse de una batería de almacenamiento
siempre es menor que la que entra cuando se carga. ¿Por qué?
P25.18. Ocho baterías de linterna en serie tienen una fem aproximada
de 12 V, como la de la batería de un automóvil. ¿Servirían para poner
en marcha un vehículo cuya batería está sin carga? ¿Por qué?
P25.19. Es frecuente que los aviones pequeños tengan sistemas eléctricos
de 24 V y no de 12 V como los automóviles, aun cuando los requerimientos
de energía eléctrica sean aproximadamente los mismos
para ambos tipos de vehículo. La explicación que dan los diseñadores
de aeronaves es que un sistema de 24 V pesa menos que otro de
12 V porque en él pueden usarse alambres más delgados. Explique
por qué es así.
P25.20. Las líneas de transmisión de energía eléctrica de larga distancia,
siempre operan con un voltaje muy elevado, en ocasiones de hasta
750 kV. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de esto?
P25.21. Es común que las líneas eléctricas domésticas de Norteamérica
operen a 120 V. ¿Por qué es deseable este voltaje en vez de otro
considerablemente mayor o menor? Por otro lado, los automóviles
P25.13. ¿Por qué una bombilla casi siempre se funde en el momento de
encender la luz, y rara vez mientras ya está encendido?
P25.14. Una bombilla brilla porque tiene resistencia; su brillo aumenta
con la potencia eléctrica que disipa. a) En el circuito que se ilustra en
P25.3. Una varilla cilíndrica tiene una resistividad r. Si se triplica su
longitud y diámetro, ¿cuál será su resistividad en términos de r?
P25.4. Dos alambres de cobre de distintos diámetros se unen por los
extremos. Si una corriente fluye por la combinación de alambres,
¿qué sucede con los electrones cuando se mueven del alambre de
mayor diámetro al alambre de menor diámetro? Su rapidez de deriva,
¿aumenta, disminuye o permanece sin cambio? Si la velocidad de
deriva cambia, ¿cuál es la fuerza que origina el cambio? Explique
su razonamiento.
P25.5. ¿Cuándo una batería AAA de 1.5 V no es en realidad de 1.5 V?
Es decir, ¿cuándo proporcionan sus terminales una diferencia de potencial
menor de 1.5 V?
P25.6. La diferencia de potencial entre las terminales de una batería,
¿puede alguna vez ser en dirección opuesta a la de la fem? Si es así, dé
un ejemplo. Si no, explique por qué.
P25.7. Una regla práctica que se utiliza para determinar la resistencia
interna de una fuente es que ésta es igual al resultado de dividir el voltaje
de circuito abierto entre la corriente del cortocircuito. ¿Esto es
cierto? ¿Por qué?
P25.8. Las baterías siempre tienen rotulada su fem; por ejemplo, una
batería de tamaño AA para linterna dice “1.5 volts”. ¿Sería apropiado
etiquetarlas también con la corriente que producen? ¿Por qué?
P25.9. Hemos visto que un coulomb es una cantidad enorme de carga;
es prácticamente imposible colocar una carga de 1 C en un objeto. Sin
embargo, una corriente de 10 A, o 10 C>s, es muy razonable. Explique
esta discrepancia aparente.
P25.10. Los electrones en un circuito eléctrico pasan a través de un resistor.
El alambre a ambos lados del resistor tiene el mismo diámetro.
a) ¿Cómo es la rapidez de deriva de los electrones antes de que entren
al resistor, en comparación con la rapidez que tienen al salir de éste?
Explique su razonamiento. b) ¿Cómo es la energía potencial de un
electrón antes de entrar en el resistor, en comparación con la que tiene
después de salir del resistor? Explique su razonamiento.
P25.11. La corriente ocasiona que la temperatura de un resistor real se
incremente. ¿Por qué? ¿Qué efecto tiene el calentamiento sobre la resistencia?
Explique.
P25.12. ¿Cuál de las gráficas que aparecen en la figura 25.29 ilustra
mejor la corriente I en un resistor real como función de la diferencia de
potencial V a través suyo? Explique. (Sugerencia: vea la pregunta para
análisis P25.11.)
por lo general tienen sistemas de 12 V. ¿Por qué es conveniente este
voltaje?
P25.22. Un fusible es un dispositivo diseñado para interrumpir un circuito
eléctrico, por lo general haciendo que se funda cuando la corriente
supera cierto valor. ¿Qué características debe tener el material con
que se fabrica el fusible?
P25.23. Las fuentes de energía de alto voltaje en ocasiones se diseñan
con la intención de que tengan una resistencia interna elevada, como
medida de seguridad. ¿Por qué es más seguro una fuente de energía
con una gran resistencia interna que una con el mismo voltaje pero con
menos resistencia interna?
P25.24. En el libro se afirma que los buenos conductores térmicos
también son buenos conductores eléctricos. Si esto es así, ¿por qué los
cables que se utilizan para conectar tostadores, planchas y otros aparatos
que producen calor, no se calientan por conducir el calor que genera
el elemento calefactor?
Ejercicios
Sección 25.1 Corriente eléctrica
25.1. Una corriente de 3.6 A fluye a través de un faro de automóvil.
¿Cuántos coulombs de carga pasan por el faro en 3.0 h?
25.2. Un alambre de plata de 2.6 mm de diámetro transfiere una carga
de 420 C en 80 min. La plata contiene 5.8 3 1028 electrones libres por
metro cúbico. a) ¿Cuál es la corriente en el alambre? b) ¿Cuál es la
magnitud de la velocidad de deriva de los electrones en el alambre?
25.3. Una corriente de 5.00 A corre a través de un alambre de cobre de
calibre 12 (diámetro, 2.05 mm) y de una bombilla. El cobre tiene 8.5
3 1028 electrones libres por metro cúbico. a) ¿Cuántos electrones pasan
por la bombilla cada segundo? b) ¿Cuál es la densidad de corriente
en el alambre? c) ¿Con qué rapidez un electrón común pasa por cualquier
punto dado del alambre? d) Si fuera a usarse un alambre con el
doble del diámetro, ¿cuáles de las respuestas anteriores cambiarían?
¿Los valores aumentarían o disminuirían?
25.4. Un alambre de calibre 18 (diámetro de 1.02 mm) transporta una
corriente con densidad de 1.50 3 106 A>m2. Calcule a) la corriente en
el alambre y b) la velocidad de deriva de los electrones en el alambre.
25.5. El cobre tiene 8.5 3 1028 electrones libres por metro cúbico.
Un alambre de cobre de calibre 12, equivalente a 2.05 mm de diámetro,
y longitud de 71.0 cm, conduce 4.85 A de corriente. a) ¿Cuánto
tiempo se requiere para que un electrón recorra la longitud del alambre?
b) Repita el inciso a) para un alambre de cobre de calibre 6 (diámetro,
4.12 mm) de la misma longitud y que conduce la misma
corriente. c) En general, ¿cómo afecta a la velocidad de deriva de los
electrones del alambre el cambio del diámetro de un alambre que
transporta una cantidad dada de corriente?
25.6. Considere el alambre de calibre 18 del ejemplo 25.1. ¿Cuántos
átomos hay en 1.00 m3 de cobre? Con la densidad de los electrones
libres dada en el ejemplo, ¿cuántos electrones libres hay por átomo
de cobre?
25.7. La corriente en un alambre varía con el tiempo de acuerdo con la
relación I 5 55 A2 (0.65 A>s2)t 2. a) ¿Cuántos coulombs de carga cruzan
la sección transversal del alambre en el intervalo de tiempo entre t
5 0 s y t 5 8.0 s? b) ¿Qué corriente constante transportaría la misma
carga en el mismo intervalo de tiempo?
25.8. Una corriente pasa a través de una solución de cloruro de sodio.
En 1.00 s, llegan al electrodo negativo 2.68 3 1016 iones de Na1, y al
electrodo positivo arriban 3.92 3 1016 iones de Cl2. a) ¿Cuál es la corriente
que pasa entre los electrodos? b) ¿Cuál es la dirección de la
corriente?
25.9. Suponga que en la plata metálica hay un electrón libre por átomo
de plata. Calcule la densidad de los electrones libres en la plata y compárela
con el valor dado en el ejercicio 25.2.
Sección 25.2 Resistividad y Sección 25.3 Resistencia
25.10. a) A temperatura ambiente, ¿cuál es la intensidad del campo
eléctrico que se necesita generar en un alambre de cobre calibre 12
(2.05 mm de diámetro) para que fluya una corriente de 2.75 A?
b) ¿Qué campo sería necesario si el alambre estuviera hecho de plata?
25.11. Una varilla cilíndrica de 1.50 m de largo y 0.500 cm de diámetro
se conecta a una fuente de potencia que mantiene una diferencia de
potencial constante de 15.0 V entre sus extremos, en tanto que un amperímetro
mide la corriente que la cruza. Se observa que a temperatura
ambiente (20.0 °C) el amperímetro da una lectura de 18.5 A, en tanto
que a 92.0 °C arroja una lectura de 17.2 A. Se puede ignorar la expansión
térmica de la varilla. Calcule a) la resistividad y b) el coeficiente
de temperatura de la resistividad a 20 °C para el material de la varilla.
25.12. Un alambre de cobre tiene una sección transversal cuadrada de
2.3 mm por lado. El alambre mide 4.0 m de longitud y conduce una corriente
de 3.6 A. La densidad de los electrones libres es 8.5 3 1028>m3.
Calcule las magnitudes de a) la densidad de la corriente en el alambre
y b) el campo eléctrico en el alambre. c) ¿Cuánto tiempo se requiere
para que un electrón recorra la longitud del alambre?
25.13. En un experimento realizado a temperatura ambiente, una corriente
de 0.820 A fluye a través de un alambre de 3.26 mm de diámetro.
Calcule la magnitud del campo eléctrico en el alambre si éste es de
a) tungsteno y b) aluminio.
25.14. Un alambre de 6.50 m de largo y 2.05 mm de diámetro tiene una
resistencia de 0.0290 V. ¿De qué material es probable que esté hecho
el alambre?
25.15. Un filamento cilíndrico de tungsteno de 15.0 cm de largo y 1.00
mm de diámetro va a usarse en una máquina cuya temperatura de operación
variará entre 20 °C y 120 °C. Conducirá una corriente de 12.5 A
en todas las temperaturas (consulte las tablas 25.1 y 25.2). a) ¿Cuál será
el máximo campo eléctrico en este filamento? b) ¿Cuál será su resistencia
con ese campo? c) ¿Cuál será la máxima caída de potencial a
todo lo largo del filamento?
25.16. ¿Qué longitud de alambre de cobre de 0.462 mm de diámetro
tiene una resistencia de 1.00 V?
25.17. Es frecuente que en las instalaciones eléctricas domésticas se
utilice alambre de cobre de 2.05 mm de diámetro. Determine la resistencia
de un alambre de ese tipo con longitud de 24.0 m.
25.18. ¿Qué diámetro debe tener un alambre de cobre si su resistencia
ha de ser la misma que la de uno de aluminio de la misma longitud con
diámetro de 3.26 mm?
25.19. Se necesita producir un conjunto de alambres de cobre cilíndricos
de 3.50 m de largo con una resistencia de 0.125 V cada uno. ¿Cuál
será la masa de cada alambre?
25.20. Un resorte muy apretado con 75 vueltas, cada una de 3.50 cm
de diámetro, está hecho de alambre metálico aislado de 3.25 mm de
diámetro. Un óhmetro conectado a través de sus extremos opuestos da
una lectura de 1.74 V. ¿Cuál es la resistividad del metal?
25.21. Un cubo de aluminio tiene lados cuya longitud es de 1.80 m.
¿Cuál es la resistencia entre dos de las caras opuestas del cubo?
25.22. Una bombilla que recibe energía de una batería tiene filamento
de tungsteno. Cuando el interruptor que conecta la bombilla con la batería
se enciende por primera vez y la temperatura de la bombilla es de
20 °C, la corriente en la bombilla es de 0.860 A. Una vez que la bombilla
ha estado encendida durante 30 s, la corriente es de 0.220 A. Pasado
ese tiempo, ¿cuál es la temperatura del filamento?
25.23. Un sólido rectangular de germanio puro mide 12 cm 3 12 cm
3 25 cm. Si cada una de sus caras es una superficie equipotencial,
¿cuál es la resistencia entre las caras opuestas que están separadas por
a) la distancia más grande y b) la distancia más corta?
25.24. Se aplica una diferencia de potencial de 4.50 V entre los extremos
de un alambre de 2.50 m de longitud y 0.654 mm de radio. La corriente
resultante a través del alambre es de 17.6 A. ¿Cuál es la
resistividad del alambre?
25.25. Un alambre de oro de 0.84 mm de diámetro conduce una corriente
eléctrica. El campo eléctrico en el alambre es de 0.49 V>m.
¿Cuáles son a) la corriente que conduce el alambre; b) la diferencia
de potencial entre dos puntos del alambre separados por una distancia
de 6.4 m; c) la resistencia de un trozo de ese alambre de 6.4 m de
longitud?
25.26. La diferencia de potencial entre puntos de un alambre separados
por una distancia de 75.0 cm es de 0.938 V cuando la densidad de
corriente es de 4.40 3 107 A>m2. ¿Cuáles son a) la magnitud de en
el alambre y b) la resistividad del material con el que está hecho el
alambre?
25.27. a) ¿Cuál es la resistencia de un alambre de nicromel a 0.0 °C si
su resistencia es de 100.00 V a 11.5 °C? b) ¿Cuál es la resistencia
de una varilla de carbono a 25.8 °C si su resistencia es de 0.0160 V
a 0.0 °C?
25.28. Se va a utilizar un resistor de carbono como termómetro. En un
día de invierno en el que la temperatura es de 4.0 °C, la resistencia del
resistor de carbono es de 217.3 V. ¿Cuál es la temperatura en un día de
primavera cuando la resistencia es de 215.8 V? (Como temperatura
de referencia, tome T0 igual a 4.0 °C.)
25.29. Un hilo de alambre tiene una resistencia de 5.60 mV. Calcule la
resistencia neta de 120 de tales hilos a) si se colocan lado a lado para
formar un cable de la misma longitud que un solo hilo, y b) si se conectan
por sus extremos para formar un alambre 120 veces más largo
que uno solo de los hilos.
25.30. Un cilindro hueco de aluminio mide 2.50 m de largo y tiene un
radio interior de 3.20 cm y un radio exterior de 4.60 cm. Considere cada
superficie (interna, externa y las dos caras de los extremos) como
equipotenciales. A temperatura ambiente, ¿cuál será la lectura de un
óhmetro si se conecta entre a) las caras opuestas y b) las superficies interior
y exterior?
Sección 25.4 Fuerza electromotriz y circuitos
25.31. Un cable de transmisión de cobre de 100 km de largo y 10.0 cm
de diámetro transporta una corriente de 125 A. a) ¿Cuál es la caída de
potencial a través del cable? b) ¿Cuánta energía eléctrica se disipa por
hora en forma de energía térmica?
25.32. Considere el circuito que
se ilustra en la figura 25.33. El
voltaje terminal de la batería de
24.0 V es de 21.2 V. ¿Cuáles son
a) la resistencia interna r de la batería
y b) la resistencia R del resistor
en el circuito?
25.33. Un voltímetro idealizado
se conecta a través de las terminales de una batería mientras se hace
variar la corriente. La figura 25.34 muestra una gráfica de la lectura
del voltímetro V como función de la corriente I a través de la batería.
Calcule a) la fem E y b) la resistencia interna de la batería.
E S
+
4.00 A
4.00 A
r 24.0 V
R
Figura 25.33 Ejercicio 25.32.
V (V)
I (A)
O
9.0
1.0 2.0
Figura 25.34 Ejercicio 25.33.
+ –
A
2.00 V
4.00 V
10.0 V
Figura 25.35 Ejercicio 25.34.
+
2.0 V
0.5 V 5.0 V
V
Figura 25.36 Ejercicio 25.35.
+
+
5.0 V
16.0 V
9.0 V
1.6 V
1.4 V 8.0 V
a b
c
Figura 25.37 Ejercicios 25.36, 25.38, 25.39 y 25.48.
25.35. Se conecta un voltímetro ideal V a un resistor de 2.0 V y una
batería con una fem de 5.0 V y resistencia interna de 0.5 V, como
se indica en la figura 25.36. a) ¿Cuál es la corriente en el resistor de
2.0 V? b) ¿Cuál es el voltaje terminal de la batería? c) ¿Cuál es la lectura
en el voltímetro? Explique sus respuestas.
25.36. El circuito que se ilustra en la figura 25.37 incluye dos baterías,
cada una con fem y resistencia interna, y dos resistores. Determine
a) la corriente en el circuito (magnitud y dirección); b) el voltaje
terminal Vab de la batería de 16.0 V; c) la diferencia de potencial Vac
del punto a con respecto al punto c. d) Con base en la figura 25.21 como
modelo, elabore la gráfica de los aumentos y las caídas del potencial
en este circuito.
25.37. Cuando se abre el interruptor S de
la figura 25.38, el voltímetro V de la batería
da una lectura de 3.08 V. Cuando se
cierra el interruptor, la lectura del voltímetro
cae a 2.97 V, y la del amperímetro
es de 1.65 A. Determine la fem, la resistencia
interna de la batería y la resistencia
del circuito R. Suponga que los dos instrumentos
son ideales, por lo que no afectan
el circuito.
25.38. En el circuito de la figura 25.37, el
resistor de 5.0 V se sustituye por otro de
+
V
S
R
A
r E
Figura 25.38 Ejercicio
25.37.
25.34. Se conecta un amperímetro idealizado a una batería, como se
ilustra en la figura 25.35. Determine a) la lectura del amperímetro,
b) la corriente a través del resistor de 4.00 V y c) el voltaje terminal
de la batería.
resistencia R desconocida. Cuando se hace esto, se conecta un voltímetro
ideal a través de los puntos b y c cuya lectura es de 1.9 V. Calcule
a) la corriente en el circuito y b) la resistencia R. c) Grafique los aumentos
y las caídas de potencial en este circuito (véase la figura
25.21).
25.39. En el circuito que se ilustra en la figura 25.37, la batería de 16.0 V
se retira y se vuelve a instalar con la polaridad invertida, de manera
que ahora su terminal negativa está cercana al punto a. Calcule a) la
corriente en el circuito (magnitud y dirección); b) el voltaje terminal
Vab de la batería de 16.0 V; c) la diferencia de potencial Vac del punto a
con respecto al punto c. d) Construya la gráfica de los aumentos y las
caídas del potencial en este circuito (véase la figura 25.21).
25.40. Las siguientes mediciones se efectuaron en un resistor de Thyrite:
0.50 1.00 2.00 4.00
2.55 3.11 3.77 4.58
(a) Grafique Vab como función de I. b) ¿El Thyrite obedece la ley de
Ohm? ¿Cómo podría saberse? c) Elabore la gráfica de la resistencia
R 5 Vab>I como función de I.
25.41. Se efectuaron las siguientes mediciones de corriente y diferencia
de potencial en un resistor hecho con alambre de nicromel:
0.50 1.00 2.00 4.00
1.94 3.88 7.76 15.52
a) Grafique Vab como función de I. b) ¿El nicromel obedece la ley de
Ohm? ¿Cómo se puede saber? c) ¿Cuál es la resistencia del resistor expresada
en ohms?
Sección 25.5 Energía y potencia en circuitos eléctricos
25.42. Un resistor con diferencia de potencial de 15.0 V a través de sus
extremos desarrolla energía térmica a una tasa de 327 W. a) ¿Cuál es
su resistencia? b) ¿Cuál es la corriente en el resistor?
25.43. Bombillas eléctricas. La especificación de la potencia de una
bombilla eléctrica (como las comunes de 100 W) es la potencia que
disipa cuando se conecta a través de una diferencia de potencial de
120 V. ¿Cuál es la resistencia de a) una bombilla de 100 W y b) una
bombilla de 60 W? c) ¿Cuánta corriente pasa por cada tipo de bombilla
en su uso normal?
25.44. Si se conecta una bombilla eléctrica de “75 W” (véase el problema
25.43) a través de una diferencia de potencial de 220 V (como
en Europa), ¿cuánta potencia disipa?
25.45. Bombilla eléctrica europea. En Europa el voltaje estándar
doméstico es de 220 V y no de 120 V, como en Estados Unidos. Por
consiguiente, se entiende que una bombilla europea de “100 W” se
usaría con una diferencia de potencial de 220 V (véase el problema
25.44). a) Si se lleva una bombilla europea de “100 W” a un hogar estadounidense,
¿cuál debería ser su especificación en Estados Unidos?
b) ¿Cuánta corriente tomaría la bombilla europea de 100 W al usarse
normalmente en Estados Unidos?
25.46. El receptor de un sistema de posicionamiento global (GPS),
que funciona con baterías, opera a 9.0 V y toma una corriente de 0.13 A.
¿Cuánta energía eléctrica consume en 1.5 h?
25.47. Considere un resistor con longitud L, sección transversal A uniforme,
y resistividad r uniforme, que conduce una corriente con densidad
uniforme J. Use la ecuación (25.18) para calcular la energía
eléctrica disipada por unidad de volumen, r. Exprese el resultado en
términos de a) E y J; b) J y r; c) E y r.
25.48. Considere el circuito de la figura 25.37. a) ¿Cuál es la tasa total a
la que se disipa la energía eléctrica en los resistores de 5.00 V y 9.00 V?
b) ¿Cuál es la potencia de salida de la batería de 16.0 V? c) ¿A qué
tasa se convierte la energía eléctrica en otras formas en la batería de
8.0 V? d) Demuestre que la potencia de salida de la batería de 16.0 V
Vab (V)
I (A)
Vab (V)
I (A)
es igual a la tasa total de disipación de energía eléctrica en el resto del
circuito.
25.49. La capacidad de un acumulador, como los que se utilizan en
los sistemas eléctricos de los automóviles, se especifica en ampereshora
Un acumulador de puede suministrar una corriente
de 50 A durante 1.0 h, o de 25 A durante 2.0 h, y así
sucesivamente. a) ¿Cuál es el total de energía que puede suministrar
un acumulador de 12 V y si su resistencia interna es insignificante?
b) ¿Qué volumen de gasolina (en litros) tiene un calor total de
combustión que es igual a la energía obtenida en el inciso a)? (Consulte
la sección 17.6; la densidad de la gasolina es 900 kg>m3.) c) Si
un generador con potencia de salida eléctrica media de 0.45 kW se conecta
al acumulador, ¿cuánto tiempo se requerirá para que el acumulador
se cargue por completo?
25.50. En el circuito analizado en el ejemplo 25.9, se sustituye el resistor
de 4.0 V por otro de 8.0 V, como en el ejemplo 25.10. a) Calcule
la tasa de conversión de energía química a energía eléctrica en la
batería. ¿Cómo se compara su respuesta con el resultado obtenido en
el ejemplo 25.9? b) Calcule la tasa de disipación de energía eléctrica
en la resistencia interna de la batería. ¿Cómo se compara su respuesta
con el resultado que obtuvo en el ejemplo 25.9? c) Use los resultados
de los incisos a) y b) para calcular la potencia de salida neta de la batería.
¿Cómo se compara el resultado con la energía eléctrica disipada
en el resistor de 8.0 V, según se calculó para este circuito en el ejemplo
25.10?
25.51. Se conecta una bombilla de 25.0 V a través de las terminales de
una batería de 12.0 V que tiene una resistencia interna de 3.50 V. ¿Qué
porcentaje de la potencia de la batería se disipa a través de la resistencia
interna, por lo que no está disponible para la bombilla?
25.52. Se conecta un voltímetro ideal a través de las terminales de una
batería de 15.0 V, y también un aparato con resistencia de 75.0 V, a
través de las terminales. Si el voltímetro da una lectura de 11.3 V:
a) ¿cuánta potencia disipa el aparato y b) cuál es la resistencia interna
de la batería?
25.53. En el circuito de la figura 25.39,
calcule a) la tasa de conversión de la
energía interna (química) a energía eléctrica
dentro de la batería; b) la tasa de disipación
de la energía eléctrica en la
batería; c) la tasa de disipación de la energía
eléctrica en el resistor externo.
25.54. Una pequeña linterna común contiene
dos baterías, cada una con fem de
1.5 V, conectadas en serie con una bombilla que tiene resistencia de
17 V. a) Si la resistencia interna de las baterías es despreciable,
¿cuánta energía se entrega a la bombilla? b) Si las baterías duran
5.0 horas, ¿cuál es la energía total que se proporciona a la bombilla?
c) La resistencia de las baterías reales se incrementa a medida que
se consumen. Si la resistencia interna inicial es despreciable, ¿cuál es
la resistencia interna combinada de ambas baterías cuando la energía
que va a la bombilla ha disminuido a la mitad de su valor inicial?
(Suponga que la resistencia de la bombilla es constante. En realidad,
cambiará algo cuando cambie la corriente que pasa por el filamento,
ya que esto altera la temperatura del filamento y, por lo tanto, su
resistividad.)
25.55. Un calentador eléctrico de “540 W” está diseñado para operar
en líneas de 120 V. a) ¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál es la corriente
que toma? c) Si el voltaje en la línea disminuye a 110 V, ¿cuánta energía
toma el calentador? (Suponga que la resistencia es constante. La
realidad es que se modificará debido al cambio de temperatura.) d ) Las
bobinas del calentador son metálicas, por lo que la resistencia del
calentador se reduce al disminuir la temperatura. Si se toma en cuenta
el cambio de la resistencia con la temperatura, ¿la energía eléctrica
consumida por el calentador será mayor o menor de lo que se calculó
en el inciso c)? Explique su respuesta.
60 A # h
1A # h 2 . 50 A # h
1.0 V 12.0 V
5.0 V
a d
b c
+
Figura 25.39
Ejercicio 25.53.
*Sección 25.6 Teoría de la conducción metálica
*25.56. El silicio puro contiene aproximadamente 1.0 3 1016 electrones
libres por metro cúbico. a) Consulte la tabla 25.1 para calcular el
tiempo libre medio t del silicio a temperatura ambiente. b) Su respuesta
para el inciso a) es un valor mucho mayor que el tiempo libre medio
del cobre dado en el ejemplo 25.12. Entonces, ¿por qué el silicio puro
tiene una resistividad tan grande en comparación con la del cobre?
Problemas
25.57. Un conductor eléctrico diseñado para transportar corrientes
grandes tiene una sección transversal circular de 2.50 mm de diámetro
y 14.0 m de longitud. La resistencia entre sus extremos es de 0.104 V.
a) ¿Cuál es la resistividad del material? b) Si la magnitud del campo
eléctrico en el conductor es de 1.28 V>m, ¿cuál es la corriente total?
c) Si el material tiene 8.5 3 1028 electrones libres por metro cúbico,
calcule la rapidez de deriva media en las condiciones descritas en el
inciso b).
25.58. Un tubo de plástico de 25.0 m de longitud y 4.00 cm de diámetro
se sumerge en una solución de plata, y se deposita una capa uniforme
de plata de 0.100 mm de espesor sobre la superficie exterior
del tubo. Si este tubo recubierto se conecta a través de una batería de
12.0 V, ¿cuál será la corriente?
25.59. En su primer día de trabajo como técnico electricista, se le pide
que determine la resistencia por metro de un elemento largo de alambre.
La compañía que lo emplea tiene poco equipo. Usted encuentra
una batería, un voltímetro y un amperímetro, pero no un instrumento
que mida la resistencia directamente (un óhmetro). Usted conecta los
alambres del voltímetro a las terminales de la batería y la lectura es de
12.6 V. Corta 20.0 m del alambre y lo conecta a la batería, con un amperímetro
en serie para medir la corriente en el alambre. El amperímetro
da una lectura de 7.00 A. Después corta un trozo de alambre de
40.0 m de longitud y lo conecta a la batería, de nuevo con el amperímetro
en serie para medir la corriente, y la lectura que se obtiene es de
4.20 A. Aun cuando el equipo de que dispone es muy limitado, su jefe
le asegura que es de alta calidad: la resistencia del amperímetro es muy
pequeña y la del voltímetro muy grande. ¿Cuál es la resistencia de
1 metro de alambre?
25.60. Se fabrica un trozo de 2.0 m de alambre soldando el extremo
de un alambre de plata de 120 cm de largo con el extremo de un alambre
de cobre de 80 cm. Cada pieza de alambre tiene 0.60 mm de diámetro.
El alambre está a temperatura ambiente, por lo que sus
resistividades son las que se dan en la tabla 25.1. Entre los extremos
del alambre compuesto de 2.0 m de largo se mantiene una diferencia
de potencial de 5.0 V. a) ¿Cuál es la corriente en la sección de cobre?
b) ¿Cuál es la corriente en la sección de plata? c) ¿Cuál es la magnitud
de en el cobre? d) ¿Cuál es la magnitud de en la plata? e) ¿Cuál es
la diferencia de potencial entre los extremos de la sección de plata del
alambre?
25.61. Un alambre de cobre de 3.00 m de longitud a 20 °C está compuesto
por dos secciones: una de 1.20 m de largo con diámetro de
1.60 mm, y otra de 1.80 m de longitud con diámetro de 0.80 mm. En
la sección de 1.60 mm de diámetro, hay una corriente de 2.5 mA.
a) ¿Cuál es la corriente en la sección de 0.80 mm de diámetro?
b) ¿Cuál es la magnitud de en la sección con diámetro de 1.60 mm?
c) ¿Cuál es la magnitud de en la sección con 0.80 mm de diámetro?
d) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los extremos del alambre
de 3.00 m de longitud?
25.62. Densidad crítica de corriente en los superconductores. Un
problema con algunos de los superconductores de alta temperatura más
recientes es obtener una densidad de corriente suficientemente grande
para el uso práctico sin que reaparezca la resistencia. La densidad máxima
de corriente para la que el material seguirá siendo superconductor
se llama densidad crítica de corriente del material. En 1987 los
E S E S
E S
E S
laboratorios de investigación de IBM produjeron películas delgadas
con densidades críticas de corriente de 1.0 3 105 A>cm2. a) ¿Cuánta
corriente podría conducir un alambre de calibre 18 (véase el ejemplo
25.1 de la sección 25.1) de este material sin dejar de ser superconductor?
b) Los investigadores intentan desarrollar superconductores con
densidades críticas de corriente de 1.0 3 106 A>cm2. ¿Qué diámetro de
alambre cilíndrico de ese material se necesitaría para conducir 1000 A
sin que se pierda la superconductividad?
25.63. Un material con resistividad r tiene forma
de cono truncado sólido de altura h y radios r1 y r2
en los extremos (figura 25.40). a) Calcule la resistencia
del cono entre las dos caras planas. (Sugerencia:
imagine que rebana el cono en discos muy
delgados y calcula la resistencia de uno.) b) Demuestre
que su resultado concuerda con la ecuación
(25.10) cuando r1 5 r2.
25.64. La región entre dos esferas conductoras
concéntricas con radios a y b se encuentra llena
de un material conductor cuya resistividad es r.
a) Demuestre que la resistencia entre las esferas está dada por
b) Obtenga una expresión para la densidad de corriente como función
del radio, en términos de la diferencia de potencial Vab entre las esferas.
c) Demuestre que el resultado del inciso a) se reduce a la ecuación
(25.10) cuando la separación L 5 b 2 a entre las esferas es pequeña.
25.65. Fuga en un dieléctrico. Dos placas paralelas de un capacitor
tienen cargas iguales y opuestas Q. El dieléctrico tiene una constante
dieléctrica K y resistividad r. Demuestre que la “fuga” de corriente I
conducida por el dieléctrico está dada por
25.66. En el circuito que se ilustra en la figura 25.41, R es un resistor
variable cuyo valor varía entre 0 y `, y a y b son las terminales de una
batería con fem y resistencia interna de 4.00 V. El amperímetro
y el voltímetro son instrumentos idealizados. Si R varía en todo
el intervalo de valores, ¿cuáles serían las lecturas máxima y mínima
de a) el voltímetro y b) el amperímetro? c) Elabore gráficas cualitativas
de las lecturas de los dos instrumentos como funciones de R conforme
R varía de 0 a `.
E 5 15.0 V
I 5 Q/KP0 r.
R 5
r
4p11
a
2
1
b 2
h
r1
r2
Figura 25.40
Problema 25.63.
A
V
a b
R
Figura 25.41 Problema 25.66.
25.67. El coeficiente de temperatura de la resistencia a en la ecuación
(25.12) es igual al coeficiente de temperatura de la resistividad a en la
ecuación (25.6) sólo si el coeficiente de expansión térmica es pequeño.
Una columna cilíndrica de mercurio está en un tubo vertical de vidrio.
A 20 °C su altura es de 12.0 cm. El diámetro de la columna de mercurio
es de 1.6 mm y no cambia con la temperatura porque el vidrio tiene
un coeficiente pequeño de expansión térmica. El coeficiente de expansión
volumétrica del vidrio se da en la tabla 17.2, su resistividad a
20 °C se especifica en la tabla 25.1, y su coeficiente de temperatura de
la resistividad se encuentra en la tabla 25.2. a) A 20 °C, ¿cuál es la resistencia
entre los extremos de la columna de mercurio? b) La columna
de mercurio se calienta a 60 °C. ¿Cuál es el cambio en su resistividad?
c) ¿Cuál es el cambio en su longitud? Explique por qué es el coeficiente
de expansión volumétrica, y no el coeficiente de expansión lineal, el
que determina el cambio en la longitud. d) ¿Cuál es el cambio en su resistencia?
[Sugerencia: como los cambios porcentuales en r y L son
pequeños, sería de ayuda obtener de la ecuación (25.10) una ecuación
para DR en términos de Dr y DL.] e) ¿Cuál es el coeficiente de temperatura
de la resistencia a para la columna de mercurio, como se define
en la ecuación (25.12)? ¿Cómo se compara este valor con el coeficiente
de temperatura de la resistividad? ¿Es importante el efecto del cambio
en la longitud?
25.68. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial Vad en el circuito de la figura
25.42? b) ¿Cuál es el voltaje terminal de la batería de 4.00 V?
c) En el punto d del circuito se insertan una batería con fem de 10.30z V
y una resistencia interna de 0.50 V, con su terminal negativa conectada
a la terminal negativa de la batería de 8.00 V. Ahora, ¿cuál es la diferencia
de potencial Vbc entre las terminales de la batería de 4.00 V?
gerador utiliza 400 Wde potencia cuando está en operación, y que funciona
8 horas al día. ¿Cuál es su costo anual de operación?
25.73. La batería de 12.6 V de un automóvil tiene una resistencia interna
despreciable y se conecta a una combinación en serie de un resistor
de 3.2 V que obedece la ley de Ohm y a un termistor que no
obedece la ley de Ohm, sino que sigue la relación V 5 aI 1 bI 2 entre
la corriente y el voltaje, con a 5 3.8 V y b 5 1.3 V>A. ¿Cuál es la corriente
a través del resistor de 3.2 V?
25.74. Un cable cilíndrico de cobre que mide 1.50 km de longitud está
conectado a través de una diferencia de potencial de 220.0 V. a) ¿Cuál
debería ser el diámetro de manera que genere calor a una tasa de 50.0
W? b) En estas condiciones, ¿cuál es el campo eléctrico en el interior
de un cable?
25.75. Amperímetro no ideal. A diferencia del amperímetro idealizado
descrito en la sección 25.4, cualquier amperímetro real tiene una
resistencia distinta de cero. a) Un amperímetro con resistencia RA se
conecta en serie con un resistor R y una batería con fem y resistencia
interna r. La corriente medida por el amperímetro es IA. Calcule la corriente
a través del circuito si se retira el amperímetro de manera que la
batería y el resistor formen un circuito completo. Exprese su respuesta
en términos de IA, r, RA y R. Cuanto más “ideal” sea el amperímetro,
menor será la diferencia entre esta corriente y la corriente IA. b) Si R 5
3.80 V, 5 7.50 V y r 5 0.45 V, calcule el valor máximo de la resistencia
del amperímetro RA, de manera que IA esté dentro del 1.0% de la
corriente en el circuito cuando no hay amperímetro. c) Explique por
qué la respuesta del inciso b) representa un valor máximo.
25.76. Un cilindro de 1.50 m de largo y 1.10 cm de radio está hecho de
una complicada mezcla de materiales. Su resistividad depende de la
distancia x desde el extremo izquierdo, y obedece a la fórmula r(x) 5
a 1 bx2, donde a y b son constantes. En el extremo de la izquierda, la
resistividad es de en tanto que en el extremo derecho
es de ¿Cuál es la resistencia de esta varilla?
b) ¿Cuál es el campo eléctrico en su punto medio si conduce una
corriente de 1.75 A? c) Si se corta la varilla en dos mitades de 75.0 cm,
¿cuál es la resistencia de cada una?
25.77. De acuerdo con el Código Eléctrico Nacional de Estados Unidos,
no está permitido que el alambre de cobre que se utiliza en las
instalaciones interiores de viviendas, hoteles, oficinas y plantas industriales
conduzca más de cierta cantidad máxima de corriente especificada.
La siguiente tabla indica la corriente máxima Imáx para
varios calibres de alambre con aislador de cambray barnizado. El
“calibre del alambre” es una especificación utilizada para describir
el diámetro de los alambres. Observe que cuanto mayor es el diámetro,
menor es el calibre.
Calibre del alambre Diámetro (cm) Imáx (A)
14 0.163 18
12 0.205 25
10 0.259 30
8 0.326 40
6 0.412 60
5 0.462 65
4 0.519 85
a) ¿Qué consideraciones determinan la capacidad máxima de conducción
de corriente de una instalación doméstica? b) A través del cableado
de una vivienda va a suministrarse un total de 4200 Wde potencia a
los aparatos eléctricos del hogar. Si la diferencia de potencial a través
del conjunto de aparatos es de 120 V, determine el calibre del alambre
más delgado permisible que puede utilizarse. c) Suponga que el alambre
usado en esta casa es del calibre que se calculó en el inciso b) y
tiene longitud total de 42.0 m. ¿A qué tasa se disipa la energía en el
cableado? d) La casa está construida en una comunidad en la que
el costo de la energía eléctrica es de $0.11 por kilowatt-hora. Si la vivienda
se equipa con alambre del calibre más grande siguiente que el
8.50 3 1028 V # m.
2.25 3 1028 V # m,
E
E
6.0
+
+
8.00 V
0 V
4.00 V 9.00 V 0.50 V
0.50 V 8.00 V
b c
a
d
Figura 25.42 Problema 25.68.
25.69. La diferencia de potencial a través de las terminales de una batería
es 8.4 V cuando en ésta hay una corriente de 1.50 A de la terminal
negativa a la positiva. Cuando la corriente es 3.50 A en la dirección inversa,
la diferencia de potencial es de 9.4 V. a) ¿Cuál es la resistencia
interna de la batería? b) ¿Cuál es la fem de la batería?
25.70. Una persona cuya resistencia corporal medida entre sus manos
es de 10 kV toma por accidente las terminales de una fuente de energía
de 14 kV. a) Si la resistencia interna de la fuente de energía es 2000 V,
¿cuál es la corriente a través del cuerpo de la persona? b) ¿Cuál es la
potencia disipada en su cuerpo? c) Si la fuente de energía debe hacerse
segura incrementando su resistencia interna, ¿de cuánto debe ser la resistencia
interna para que la máxima corriente en la situación anterior
sea de 1.00 mA o menos?
25.71. La resistividad general media del cuerpo humano (aparte de la
resistencia superficial de la piel) es alrededor de La trayectoria
de conducción entre las manos puede representarse aproximadamente
como un cilindro de 1.6 m de largo y 0.10 m de diámetro. La
resistencia de la piel se vuelve despreciable si se sumergen las manos
en agua salada. a) ¿Cuál es la resistencia entre las manos si la resistencia
de la piel es despreciable? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial
que se necesita entre las manos para que haya una descarga de corriente
letal de 100 mA? (Observe que el resultado demuestra que las pequeñas
diferencias de potencial producen corrientes peligrosas si la
piel está húmeda.) c) Con la corriente que se calculó en el inciso b),
¿cuánta potencia se disipa en el cuerpo?
25.72. El costo común de la energía eléctrica es de $0.12 por kilowatthora.
a) Algunas personas mantienen encendido todo el tiempo una
lámpara cerca de la puerta de entrada. ¿Cuál es el costo anual de tener
encendida una bombilla de 75 Wdía y noche? b) Suponga que su refri-
5.0 V # m.
calculado en el inciso b), ¿cuáles serían los ahorros en el costo de la
electricidad durante un año? Suponga que los aparatos se mantienen
encendidos un promedio de 12 horas al día.
25.78. Un tostador que usa un elemento calefactor de nicromel opera a
120 V. Cuando la temperatura ambiente es de 20 °C y el aparato está conectado,
el elemento calefactor conduce una corriente inicial de 1.35 A.
Algunos segundos más tarde, la corriente alcanza un valor estable de
1.23 A. a) ¿Cuál es la temperatura final del elemento? El valor medio
del coeficiente de temperatura de la resistividad para el nicromel en el
intervalo de temperatura es de 4.5 3 1024 (C°)21. b) ¿Cuál es la energía
que se disipa en el elemento calefactor al inicio y cuando la corriente
alcanza un valor estable?
25.79. En el circuito de la figura 25.43, calcule a) la corriente a través
del resistor de 8.0 V y b) la tasa total de disipación de energía eléctrica
en el resistor de 8.0 V y en la resistencia interna de las baterías. c) En
una de las baterías, la energía química se convierte en energía eléctrica.
¿En cuál pasa esto y con qué rapidez? d) En una de las baterías la
energía eléctrica se convierte en energía química. ¿En cuál ocurre esto
y con qué rapidez? e) Demuestre que en el circuito la tasa total de producción
de energía eléctrica es igual a la tasa total de consumo de energía
eléctrica.
los extremos del alambre. En un modelo simplificado de este experimento,
considere una varilla metálica de longitud L a la que se imparte
una aceleración uniforme a la derecha. Al inicio, las cargas libres en
el metal se retrasan con respecto al movimiento de la varilla y crean un
campo eléctrico en la varilla. En el estado estable, este campo ejerce
una fuerza sobre las cargas libres que las acelera junto con la varilla.
a) Aplique la expresión a las cargas libres con la finalidad
de obtener una expresión para en términos de las magnitudes del
campo eléctrico inducido y la aceleración b) Si todas las cargas libres
en la varilla metálica tienen la misma aceleración, el campo eléctrico
es el mismo en todos los puntos de la varilla. Con base en este
hecho, rescriba la expresión para en términos del potencial Vbc
entre los extremos de la varilla (figura
25.44). c) Si las cargas libres son
negativas, ¿cuál extremo de la varilla,
b o c, está a un potencial mayor?
d) Si la varilla mide 0.50 m de largo
y las cargas libres son electrones
(carga q 5 21.60 3 10219 C, masa
de 9.11 3 10231 kg), ¿cuál es la magnitud de la aceleración que se requiere
para producir una diferencia de potencial de 1.0 mV entre los
extremos de la varilla? e) Analice por qué en el experimento real se
utilizó un carrete giratorio de alambre delgado y no una varilla móvil
como en nuestro análisis simplificado.
25.84. La relación entre la corriente y el voltaje de un diodo semiconductor
está dada por
donde I y V son respectivamente la corriente y el voltaje a través del
diodo. Is es una constante característica del dispositivo, e es la magnitud
de la carga del electrón, k es la constante de Boltzmann, y T es la
temperatura Kelvin. El diodo está conectado en serie con un resistor
con R 5 1.00 V y una batería con E 5 2.00 V. La polaridad de la batería
es tal que la corriente que pasa por el diodo va hacia delante (figura
25.45). La batería tiene resistencia interna despreciable. a) Obtenga
una ecuación para V. Observe que no es posible despejar V algebraicamente.
b) El valor de V debe obtenerse con métodos numéricos. Un
enfoque es probar un valor de V y observar lo que ocurre en los lados
izquierdo y derecho de la ecuación, luego se usa esto para mejorar la
selección de V. Con Is 5 1.50 mA y T 5 293 K, obtenga una solución
(exacta hasta tres cifras significativas) para la caída del voltaje V a través
del diodo y la corriente I que pasa por éste.
I 5 IS Sexp 1eV
kT 2 2 1 T
0 q 0 /m
E S
aS
. E S
0 q 0 /m
SF S
5 maS
E S
aS
+
+
E2 5 8.0 V
E1 5 12.0 V r1 5 1.0 V
r2 5 1.0 V
R 5 8.0 V
Figura 25.43 Problema 25.79.
25.80. Un relámpago azota el extremo de un pararrayos de acero y
produce una corriente de 15,000 A que dura 65 ms. El pararrayos mide
2.0 m de altura y 1.8 cm de diámetro, y su extremo inferior está conectado
a tierra por medio de un alambre de cobre de 8.0 mm de diámetro.
a) Calcule la diferencia de potencial entre la parte superior del
pararrayos de acero y el extremo inferior del alambre de cobre durante
la corriente. b) Determine la energía total que se deposita en el pararrayos
y en el alambre por la corriente.
25.81. Una batería de 12.0 V tiene una resistencia interna de 0.24 V y
capacidad de 50.0 A · h (véase el ejercicio 25.49). La batería se carga
haciendo pasar una corriente de 10 A a través de ella durante 5.0 h.
a) ¿Cuál es el voltaje terminal durante el proceso de carga? b) ¿Cuál es
el total de energía eléctrica que se suministra a la batería durante la
carga? c) ¿Cuánta energía eléctrica se disipa en la resistencia interna
mientras se carga la batería? d ) Se descarga por completo la batería
a través de un resistor, de nuevo con una corriente constante de 10 A.
¿Cuál es la resistencia externa del circuito? e) ¿Cuánta energía eléctrica
se suministra en total al resistor externo? f ) ¿Cuánta energía eléctrica
se disipa en total en la resistencia interna? g) ¿Por qué no son
iguales las respuestas a los incisos b) y e)?
25.82. Repita el problema 25.81 con corrientes de carga y descarga de
30 A. Los tiempos de carga y descarga ahora son de 1.7 h en vez de 5.0 h.
¿Cuáles son las diferencias que observa en el rendimiento?
Problemas de desafío
25.83. En 1916 el experimento Tolman-Stewart demostró que las cargas
libres en un metal tienen carga negativa y proporcionan una medición
cuantitativa de su razón carga-masa, El experimento
consistió en detener en forma abrupta un carrete de alambre que giraba
con rapidez y medir la diferencia de potencial que esto producía entre
0 q 0 /m.
+
Diode
2.00 V
1.00 V
Diodo
Figura 25.45 Problema de desafío 25.84.
L
b
a
c
Figura 25.44 Problema de
desafío 25.83.
25.85. La resistividad de un semiconductor se puede modificar si se
agregan diferentes cantidades de impurezas. Una varilla de material
semiconductor de longitud L y área de sección transversal A se localiza
sobre el eje x, entre x 5 0 y x 5 L. El material obedece la ley de Ohm,
y su resistividad varía a lo largo de la varilla según la expresión r(x) 5
r0 exp(2x>L). El extremo de la varilla en x 5 0 está a un potencial V0
mayor que el extremo en x 5 L. a) Calcule la resistencia total de la varilla
y la corriente en ella. b) Encuentre la magnitud del campo eléctrico
E(x) en la varilla como función de x. c) Determine el potencial eléctrico
V(x) en la varilla como función de x. d ) Elabore la gráfica de las
funciones r(x), E(x) y V(x) para valores de x entre x 5 0 y x 5 L.
25.86. Una fuente con fem y resistencia interna r está conectada a un
circuito externo. a) Demuestre que la potencia de salida de la fuente es
máxima cuando la corriente en el circuito es la mitad de la corriente de
cortocircuito de la fuente. b) Si el circuito externo consiste en una resistencia
R, demuestre que la potencia de salida es máxima cuando
R 5 r y que la potencia máxima es
25.87. El coeficiente de temperatura de la resistividad a está dado por
a 5
1
r
dr
dT
E2 /4r.
E
donde r es la resistividad a la temperatura T. Por lo tanto, se cumple
la ecuación (25.6) si se supone que a es constante y mucho más
pequeña que (T 2 T0)21. a) Si a no es constante, pero está dada por
a 5 2n>T, donde T es la temperatura Kelvin y n es una constante,
demuestre que la resistividad está dada por r 5 a>T n, donde a es
una constante. b) En la figura 25.10, se observa que esa relación puede
usarse como una aproximación para un semiconductor. Utilizando
los valores de r y a que se dan para el carbono en las tablas 25.1 y
25.2, determine a y n. (En la tabla 25.1, suponga que “temperatura
ambiente” significa 293 K.) c) Con base en el resultado del inciso b),
determine la resistividad del carbono a 2196 °C y 300 °C. (Recuerde
expresar T en kelvin.)